Đáp án + Giải thích các bước giải:

Trong $(ABCD)$, gọi $I = AM \cap BC, K = BM \cap AD$

Do $I \in BC$ nên $SI \subset (SBC)$

Mà $MN // SA \Rightarrow MN, SA$ cùng nằm trên $(SAM)$

$\Rightarrow N \in (SAM)$

Mà $N \in (SBC) \Rightarrow N \in (SAM) \cap (SBC)$

Ta có: $I = AM \cap BC$

$\Rightarrow SI \subset (SAM)$

$\Rightarrow (SAM) \cap (SBC) = SI$

$\Rightarrow N \in SI$

$\triangle SAI$ có $MN // SA, M \in AI, N \in SI$

$\Rightarrow \dfrac{MN}{SA} = \dfrac{MI}{IA} ($hệ quả của định lý Thalès$)$

Do $K \in AD$ nên $SK \subset (SAD)$

Mà $MP // SB \Rightarrow MP, SB$ cùng nằm trên $(SBM)$

$\Rightarrow P \in (SBM)$

Mà $P \in (SAD) \Rightarrow P \in (SBM) \cap (SAD)$

Ta có: $K = BM \cap AD$

$\Rightarrow SK \subset (SBM)$

$\Rightarrow (SBM) \cap (SAD) = SK$

$\Rightarrow P \in SK$

$\triangle SBK$ có $MP // SB, M \in BK, P \in SK$

$\Rightarrow \dfrac{MP}{SB} = \dfrac{MK}{KB} ($hệ quả của định lý Thalès$)$

Do $ABCD$ là hình thang, $K \in AD$ và $I \in BC \Rightarrow AK // BC$

Xét $\triangle MAK$ và $\triangle MBI$ có $AK // BI, A \in MI, K \in BM$

$\Rightarrow \dfrac{MK}{MB} =\dfrac{MA}{MI}($hệ quả của định lý Thalès$)$

$\Rightarrow 1 + \dfrac{MK}{MB} = 1 + \dfrac{MA}{MI}$

$\Rightarrow \dfrac{BK}{MB} = \dfrac{AI}{MI}$

$\Rightarrow \dfrac{MB}{BK} = \dfrac{MI}{IA}$

$\Rightarrow 1 - \dfrac{MB}{BK} = 1 - \dfrac{MI}{IA}$

$\Rightarrow \dfrac{MK}{BK} = \dfrac{MA}{IA}$

$\Rightarrow \dfrac{MP}{SB} = \dfrac{MA}{IA}$

$\Rightarrow \dfrac{MN}{SA} + \dfrac{MP}{SB} = \dfrac{MI}{IA} + \dfrac{MA}{IA} = 1$