Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Đặt } a = x - 1, b = y - 1, c = z - 1 \\
& 0 \le x, y, z \le 2 \\
& -1 \le a, b, c \le 1 \\
& a + b + c = (x - 1) + (y - 1) + (z - 1) \\
& a + b + c = x + y + z - 3 \\
& a + b + c = 3 - 3 \\
& a + b + c = 0 \\
& M = (a+1)^4 + (b+1)^4 + (c+1)^4 + 12(-a)(-b)(-c) \\
& M = (a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1) + (b^4 + 4b^3 + 6b^2 + 4b + 1) + (c^4 + 4c^3 + 6c^2 + 4c + 1) - 12abc \\
& M = (a^4 + b^4 + c^4) + 4(a^3 + b^3 + c^3) + 6(a^2 + b^2 + c^2) + 4(a + b + c) + 3 - 12abc \\
& a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\
& a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \\
& 4(a^3 + b^3 + c^3) = 12abc \\
& M = (a^4 + b^4 + c^4) + 12abc + 6(a^2 + b^2 + c^2) + 0 + 3 - 12abc \\
& M = a^4 + b^4 + c^4 + 6(a^2 + b^2 + c^2) + 3 \\
& a^2 \le 1, b^2 \le 1, c^2 \le 1 \\
& a^4 \le a^2, b^4 \le b^2, c^4 \le c^2 \\
& a^4 + b^4 + c^4 \le a^2 + b^2 + c^2 \\
& M \le (a^2 + b^2 + c^2) + 6(a^2 + b^2 + c^2) + 3 \\
& M \le 7(a^2 + b^2 + c^2) + 3 \\
& 1 - a \ge 0, 1 - b \ge 0, 1 - c \ge 0 \\
& (1-a)(1-b)(1-c) \ge 0 \\
& 1 + a \ge 0, 1 + b \ge 0, 1 + c \ge 0 \\
& (1+a)(1+b)(1+c) \ge 0 \\
& (1-a)(1-b)(1-c) + (1+a)(1+b)(1+c) \ge 0 \\
& (1 - a - b - c + ab + bc + ca - abc) + (1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc) \ge 0 \\
& 2 + 2(ab + bc + ca) \ge 0 \\
& 2(ab + bc + ca) \ge -2 \\
& a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\
& a^2 + b^2 + c^2 = 0 - 2(ab+bc+ca) \\
& a^2 + b^2 + c^2 \le 2 \\
& M \le 7 \cdot 2 + 3 \\
& M \le 17 \\
& \text{Dấu bằng xảy ra khi } (a, b, c) \text{ là hoán vị của } (1, -1, 0) \text{ tương ứng } (x, y, z) \text{ là hoán vị của } (2, 0, 1) \\
& \text{Kết quả: Giá trị lớn nhất của biểu thức } M \text{ là } 17
\end{aligned}$