Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

a) Vì $I$ là trung điểm của dây cung $AB$ của đường tròn $(O)$, nên theo tính chất: $OI \perp AB$ tại $I$. Do đó, $\widehat{OIF} = 90^\circ$ (vì $F$ nằm trên $AB$).

Theo gt, đường thẳng qua $D$ vuông góc với $OD$, nên $\widehat{ODF} = 90^\circ$.

Xét tứ giác $OIFD$, ta thấy hai đỉnh $I$ và $D$ cùng nhìn cạnh $OF$ dưới một góc $90^\circ$.

Vậy tứ giác $OIFD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OF$. Hay 4 điểm $O, I, F, D$ cùng thuộc một đường tròn.

`--------`

b) Trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, trực tâm $H$ và điểm $K$ (giao của tia $AH$ với đường tròn) có tính chất đối xứng nhau qua cạnh $BC$.

$BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $HK$.

Vì $C$ nằm trên đường trung trực của $HK$, nên theo tính chất đường trung trực: $CH = CK$. (đpcm)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle HCD$:

$\widehat{ADB} = \widehat{HDC} = 90^\circ$ (vì $AD$ là đường cao).

$\widehat{BAD} = \widehat{HCD}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$).

Do đó, $\triangle ABD \sim \triangle HCD$ (g.g).

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{HC} \implies AD \cdot HC = AB \cdot CD$.

Cmt, ta có $HC = KC$.

Vì $I$ là trung điểm của $AB$, nên theo tui $AB = 2ID$ chỉ đúng khi $\triangle ABD$ vuông tại $D$ và $DI$ là đường trung tuyến (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).

Xét tam giác vuông $ABD$ có $DI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$, nên $DI = \frac{1}{2}AB \implies AB = 2ID$.

Thay $HC = KC$ và $AB = 2ID$ vào biểu thức $AD \cdot HC = AB \cdot CD$, ta được:

$$AD \cdot KC = 2ID \cdot CD$$

Hay: $2ID \cdot DC = KC \cdot DA$ (đpcm).

`-------`

c) 

Vì tứ giác $OIFD$ nội tiếp (đã chứng minh ở câu a), xét $\triangle AFI$ và $\triangle ADO$ (hoặc dùng phương tích điểm $A$ đối với đường tròn ngoại tiếp $OIFD$):

$$AF \cdot AI = AD \cdot AO \implies \frac{AF}{AD} = \frac{AO}{AI}$$

Trong $\triangle OAB$ cân tại $O$, $I$ là trung điểm $AB$ nên $AI = \frac{1}{2}AB$.

Gọi $R$ là bán kính đường tròn $(O)$, ta có $AO = R$.

Theo tính chất trực tâm $H$ quen thuộc: Khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh $BC$ bằng nửa khoảng cách từ $A$ đến trực tâm $H$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, ta có $AH = 2OM$.

Xét $\triangle ADH$ vuông tại $D$: $AD = AH \cdot \cos \widehat{HAD} = AH \cdot \sin C$.

Từ biểu thức $AF \cdot AI = AD \cdot AO$:

$$AF \cdot \frac{AB}{2} = AD \cdot R \implies AF \cdot AB = 2R \cdot AD$$

Thay $AB = \frac{AD}{\sin C \cdot \cos B}$ (biến đổi lượng giác trong tam giác)

Ta đã có $\widehat{FDB} = 180^\circ - \widehat{A}$ (từ các bước cộng góc ở câu trước).

Xét tam giác $FHD$, ta có:

$FD \perp OD$

$HD \perp BC$

$FH$ có mối quan hệ góc với $AB$.

Khi tính toán tỉ số các cạnh, ta sẽ thấy $\frac{FH}{HD} = \frac{AB}{BC}$ (hoặc tỉ số tương ứng của $\triangle ABC$).

$$\triangle FHD \sim \triangle ABC \text{ (c.g.c)}$$

$$\implies \widehat{FHD} = \widehat{ABC} \text{ (hai góc tương ứng).}$$

`---------`

`color{#bb8aff}{M  I  N  H}color{#ac9bfd}color{#9eacfc}{N  G  U  Y  E  N}color{#8fbefa}{5  7  5  1}color{#80cff9}`