Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $\dfrac{n - 2022}{2122 -n} = k^2$ với $k$ là số nguyên

Lúc này ta có:

$\dfrac{n - 2022}{2122 -n} = k^2$

$n - 2022 = k^2(2122 - n)$

$n - 2022 = 2122k^2 - nk^2$

$n + nk^2 = 2122k^2 + 2022$

$n\left(1 + k^2\right) = 2122k^2 + 2122 - 100$

$n\left(1 + k^2\right) + 2122\left(k^2 + 1\right) - 100$

$n = 2122 - \dfrac{100}{k^2 + 1}$

Để $n$ nguyên dương thì $\dfrac{100}{k^2 + 1}$ là số nguyên nhỏ hơn $2122$

Mà $k^2 + 1 \ge 1$ với mọi $k$ nguyên nên $\dfrac{100}{k^2 + 1} \le 100$ với mọi $k$ nguyên

Do đó $2022 \le n \le 2122$ với mọi $k$ nguyên

Để $\dfrac{100}{k^2 + 1}$ nguyên thì $k^2 + 1$ là ước nguyên dương của $100$

Suy ra $k^2 + 1 \in \{1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100\}$

Hay $k^2 \in \{0; 1; 3; 4; 9; 19; 24; 49; 99\}$

Mà $k$ nguyên nên $k^2$ là số chính phương

Suy ra $k^2 \in \{0; 1; 4; 9; 49\}$, hay $k^2 + 1 \in \{1; 2; 5; 10; 50\}$

Do đó $\dfrac{100}{k^2 + 1} \in \{100; 50;20; 10; 2\}$

Suy ra $n = 2122 - \dfrac{100}{k^2 + 1} \in \{2022; 2072; 2102; 2112; 2120\}$

Vậy tổng các giá trị có thể của $n$ là $2022 + 2072 + 2102 + 2112 + 2120 = 10428$