Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x^2-(m+2)x} = 5^{27}$

$\Leftrightarrow 5^{-x^2+(m+2)x} = 5^{27}$

$\Leftrightarrow x^2 - (m+2)x + 27 = 0 \quad (1)$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $a, b > 0, \neq 1$:

$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta = (m+2)^2 - 108 > 0 \\ a+b = m+2 > 0 \\ ab = 27 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 6\sqrt{3} - 2$

Theo Vi-ét:

$\begin{cases} a + b = m + 2 \\ ab = 27 \end{cases}$

$\log_a\left(b^{\log_a b}\right) - 2\log_{\sqrt{a}}b + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (\log_a b)^2 - 4\log_a b + 4 = 0$

$\Leftrightarrow (\log_a b - 2)^2 = 0$

$\Leftrightarrow \log_a b = 2$

$\Leftrightarrow b = a^2$

Thay vào $ab = 27$:

$a \cdot a^2 = 27 \Leftrightarrow a^3 = 27 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow b = 9$

Thay vào $a + b = m + 2$:

$3 + 9 = m + 2 \Rightarrow m = 10$ (thỏa mãn)