Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Gọi phân số cần xét là } A \\
& A = \dfrac{18n+3}{21n+7} \\
& A = \dfrac{3(6n+1)}{7(3n+1)} \\
& \text{Gọi } d \text{ là UCLN của } 6n+1 \text{ và } 3n+1 \\
& \begin{cases} (6n+1) \,\, \vdots \,\, d \\ (3n+1) \,\, \vdots \,\, d \end{cases} \\
& \left[ (6n+1) - 2(3n+1) \right] \,\, \vdots \,\, d \\
& (6n+1 - 6n - 2) \,\, \vdots \,\, d \\
& -1 \,\, \vdots \,\, d \\
& d = 1 \\
& \text{UCLN}(6n+1, 3n+1) = 1 \\
& \text{Nhận thấy } 3n+1 \text{ không chia hết cho } 3\text{, nên UCLN}(3n+1, 3) = 1 \\
& \text{Để phân số } A \text{ rút gọn được thì } 6n+1 \text{ phải chia hết cho } 7 \\
& (6n+1) \,\, \vdots \,\, 7 \\
& (6n+1 - 7) \,\, \vdots \,\, 7 \\
& (6n-6) \,\, \vdots \,\, 7 \\
& 6(n-1) \,\, \vdots \,\, 7 \\
& \text{UCLN}(6, 7) = 1 \\
& (n-1) \,\, \vdots \,\, 7 \\
& \text{Gọi } k \text{ là số tự nhiên} \\
& n-1 = 7k \\
& n = 7k+1 \\
& \text{Kết quả: } n = 7k+1 \text{ (với } k \text{ là số tự nhiên) thì phân số } \dfrac{18n+3}{21n+7} \text{ có thể rút gọn được.}
\end{aligned}$