\[ \mathfrak{ Phong}\] 

`Câu` `3:`

Giả sử nhà địa chất đi theo lộ trình $A \to C \to D \to B$. Gọi $H, K$ là hình chiếu của $A, B$ lên đường nhựa. Đặt $HC = DK = x$ (km) (với $0 < x < 35$).

`@`Quãng đường đi trên sa mạc: $AC = BD = \sqrt{10^2 + x^2}$ (km).

`@`Quãng đường đi trên đường nhựa: $CD = 70 - 2x$ (km).

Tổng thời gian di chuyển $T$ (giờ) là:

$$T = \frac{2\sqrt{100 + x^2}}{30} + \frac{70 - 2x}{50} = \frac{\sqrt{100 + x^2}}{15} + \frac{35 - x}{25}$$

Để $T$ ngắn nhất, ta xét đạo hàm $T'(x)$:

$$T'(x) = \frac{x}{15\sqrt{100 + x^2}} - \frac{1}{25}$$

Cho $T'(x) = 0 \iff 25x = 15\sqrt{100 + x^2} \iff 5x = 3\sqrt{100 + x^2}$

$$\iff 25x^2 = 9(100 + x^2) \iff 16x^2 = 900 \iff x = 7,5 \text{ (km)}$$

Thay $x = 7,5$ vào biểu thức $T$:

$$T_{min} = \frac{\sqrt{100 + 7,5^2}}{15} + \frac{35 - 7,5}{25} = \frac{12,5}{15} + \frac{27,5}{25} = \frac{5}{6} + \frac{11}{10} = \frac{29}{15} \text{ (giờ)}$$

Đổi ra phút: $\frac{29}{15} \times 60 = 116$ phút.

`⇒` Thời gian ngắn nhất để nhà địa chất đến `B` là `116` phút.