Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 ta có p= $\frac{2a}{\sqrt{1+2a^2}}$ + $\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}$ + $\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}$

= $\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}$ + $\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}$ + $\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}$

=$\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ + $\frac{2b}{\sqrt{4(b+c)(b+a)}}$ +$\frac{2c}{\sqrt{4(c+a)(c+b)}}$

áp dụng bất đẳng thức a+b $\geq$ 2√ab ,với a;b>0 ta có 

$\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$ $\leq$ $\frac{a}{a+b}$ +$\frac{a}{a+c}$ ; $\frac{2b}{\sqrt{4(b+c)(b+a)}}$ $\leq$ $\frac{b}{4(b+c)}$ +$\frac{b}{a+b}$ ; $\frac{2c}{\sqrt{4(c+a)(c+b)}}$$\leq$ $\frac{c}{4(c+b)}$ +$\frac{c}{c+a}$ 

suy ra p$\leq$ ($\frac{a}{a+b}$ + $\frac{a}{a+c}$ ) +($\frac{b}{4(b+c)}$ + $\frac{b}{(a+b)}$)+ ($\frac{c}{4(b+c)}$ + $\frac{c}{c+a)}$)
 p$\leq$ ($\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+a}$)+($\frac{a}{a+c}$+ $\frac{c}{c+a)}$)+ ($\frac{b}{4(b+c)}$ + $\frac{c}{4(c+b)}$ )= 1+1+$\frac{1}{4}$ =$\frac{9}{4}$ 
Dấu "=" xảy ra khi a+b=a+c;4(b+c)=a+b hay b=c=$\frac{a}{7}$ =$\frac{\sqrt{15}}{15}$ 

vậy giá trị lớn nhất của p là `9/4` đạt được khi b=c=`a/7`=$\frac{\sqrt{15}}{15}$ 

gửi tus