Đáp án + Giải thích các bước giải:

`2`)

`a`) Ta có: $\triangle$`ABC` vuông tại `A` (`g``t`)

`=> AB^2 + AC^2 = BC^2` (Định lý Pythagore)

`=> BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100` (`cm²`)

`=> BC = 10` (`cm`)

Lại có: Tia phân giác $\widehat{ABC}$ cắt `AC` tại `D` (`g``t`)

`=> BD` là đường phân giác của $\triangle$`ABC`

`=> (BA)/(BC) = (DA)/(DC)`

`=> (DA)/(DC) = 6/10 = 3/5`

`=> (DA)/3 = (DC)/5`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

`(DA)/3 = (DC)/5 = (DA+DC)/(3+5) = (AC)/8 = 8/8 =1`

`=> DC = 5` (`cm`)

Vậy `DC = 5` (`cm`) và `BC = 10` (`cm`)

`b`) Ta có: `DH` $\bot$ `BC` tại `H` (`g``t`)

`=>` $\widehat{DHB}$ `= 90^o`

Mà `AE` $\bot$ `BC` tại `E` (`g``t`)

`=>` $\widehat{AEB}$ `= 90^o`

`=>` $\widehat{DHB}$ `=` $\widehat{AEB}$ (`= 90^o`)

Mà $\widehat{DHB}$ và $\widehat{AEB}$ là hai góc nằm ở vị trí đồng vị

`=> DH` // `AE`

`=>` $\triangle$`CAE` có `DH` // `AE`

`=> (CH)/(HE) = (CD)/(DA)` (Hệ quả của định lý Thales)

Lại có: `(BA)/(BC) = (DA)/(DC)` (`cmt`)

`=> (BC)/(BA) = (CD)/(DA)`

`=> (CH)/(HE) = (BC)/(BA)` (`=(CD)/(DA)`)

`=> CH * AB = HE * BC` (`đpcm`)

`c`) Xét $\triangle$`BAD` và $\triangle$`BHD`, ta có:

$\widehat{BAD}$ `=` $\widehat{BHD}$ (`=90^o`);

`BD` chung;

$\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{HBD}$ (`BD` là phân giác của $\widehat{ABC}$)

`=>` $\triangle$`BAD` `=` $\triangle$`BHD` (`ch.gn`)

`=> DA = DH` và `BA = BH` (Các cặp cạnh tương ứng)

`=> 2` điểm `D` và `B` cách đều `2` đầu mút của đoạn thẳng `AH`

`=> DB` là đường trung trực của `AH`

Mà `DB` cắt `AH` tại `O` (`g``t`)

`=> O` là trung điểm của `AH => OA = OH`

Ta có: Qua `B` kẻ đường thẳng song song với `AH` cắt các tia `CO` và `CA` lần lượt tại `M` và `N` (`g``t`)

`=> OH` // `MB` và `OA`//`MN`

Xét $\triangle$`CMN` có `OA` // `MN` và $\triangle$`CBM` có `OH` // `MB`, ta suy ra:

`(CO)/(CM) = (OA)/(MN)` và `(CO)/(CM) = (OH)/(MB)` (Hệ quả của định lý Thales)

`=> (OA)/(MN) = (OH)/(MB)`

Mà `OA = OH` (`cmt`) `=> MN = MB`

`=> M` là trung điểm của `BN` (`đpcm`)

`#yayfishi``ng`