Đáp án:

$\max\limits_{(0;+\infty)}=\sqrt[e]e$

Giải thích các bước giải:

$\ln\sqrt[n]n=\ln n^{\frac1n}=\dfrac{\ln n}n$

Đặt $f(n)=\dfrac{\ln n}n\Rightarrow f'(n)=\dfrac{(\ln n)'.n-\ln n.n'}{n^2}$

$\Rightarrow f'(n)=\dfrac{\dfrac1n.n-\ln n.1}{n^2}=\dfrac{1-\ln n}{n^2}$

$f(x)_{\max}\Leftrightarrow f'(x)=0\Rightarrow 1-\ln n=0$

$\Rightarrow \ln n=1\Rightarrow \ln n=\ln e\Rightarrow n=e$

$\Rightarrow\max\limits_{(0;+\infty)}\dfrac{\ln n}n=\dfrac{\ln e}e=\dfrac1e$

$\ln\sqrt[n]n=\dfrac{\ln n}n\Rightarrow\sqrt[n]n=e^{\frac{\ln n}n}$

$ \max\limits_{(0;+\infty)}\sqrt[n]n=e^{\max\limits_{(0;+\infty)}\frac{\ln n}n}=e^{\frac1e}=\sqrt[e]e$