Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Đáy } ABCD \text{ là hình chữ nhật.} \\
& BC \parallel AD \\
& \text{Góc giữa hai đường thẳng } BC \text{ và } SD \text{ là góc giữa hai đường thẳng } AD \text{ và } SD. \\
& SA \perp (ABCD) \\
& SA \perp AD \\
& \text{Tam giác } SAD \text{ vuông tại } A. \\
& SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} \\
& SD = \sqrt{(2a)^2 + (a\sqrt{2})^2} \\
& SD = \sqrt{4a^2 + 2a^2} \\
& SD = \sqrt{6a^2} \\
& SD = a\sqrt{6} \\
& \text{Trong tam giác vuông } SAD, \text{ góc } \widehat{SDA} \text{ là góc nhọn.} \\
& \text{Góc giữa hai đường thẳng } AD \text{ và } SD \text{ là góc } \widehat{SDA}. \\
& \cos(\widehat{SDA}) = \dfrac{AD}{SD} \\
& \cos(\widehat{SDA}) = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} \\
& \cos(\widehat{SDA}) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
& \cos(\widehat{SDA}) = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\
& \text{b) Ta có:}. \\
& \vec{SB} = \vec{AB} - \vec{AS} \\
& I \text{ là trung điểm của đoạn thẳng } CD. \\
& \vec{DI} = \dfrac{1}{2}\vec{DC} \\
& \text{Đáy } ABCD \text{ là hình chữ nhật.} \\
& \vec{DC} = \vec{AB} \\
& \vec{DI} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} \\
& \vec{AI} = \vec{AD} + \vec{DI} \\
& \vec{AI} = \vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{AB} \\
& \vec{SB} \cdot \vec{AI} = (\vec{AB} - \vec{AS}) \cdot \left(\vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{AB}\right) \\
& \vec{SB} \cdot \vec{AI} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{AB}^2 - \vec{AS} \cdot \vec{AD} - \dfrac{1}{2}\vec{AS} \cdot \vec{AB} \\
& AB \perp AD \\
& \vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0 \\
& SA \perp (ABCD) \\
& SA \perp AB \\
& SA \perp AD \\
& \vec{AS} \cdot \vec{AB} = 0 \\
& \vec{AS} \cdot \vec{AD} = 0 \\
& \vec{SB} \cdot \vec{AI} = 0 + \dfrac{1}{2}AB^2 - 0 - 0 \\
& \vec{SB} \cdot \vec{AI} = \dfrac{1}{2}a^2 \\
& \text{Tam giác } SAB \text{ vuông tại } A. \\
& SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} \\
& SB = \sqrt{(2a)^2 + a^2} \\
& SB = a\sqrt{5} \\
& \text{Tam giác } ADI \text{ vuông tại } D. \\
& DI = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2} \\
& AI = \sqrt{AD^2 + DI^2} \\
& AI = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\
& AI = \sqrt{2a^2 + \dfrac{a^2}{4}} \\
& AI = \sqrt{\dfrac{9a^2}{4}} \\
& AI = \dfrac{3a}{2} \\
& \cos(SB, AI) = \dfrac{|\vec{SB} \cdot \vec{AI}|}{|\vec{SB}| \cdot |\vec{AI}|} \\
& \cos(SB, AI) = \dfrac{\dfrac{1}{2}a^2}{a\sqrt{5} \cdot \dfrac{3a}{2}} \\
& \cos(SB, AI) = \dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{3a^2\sqrt{5}}{2}} \\
& \cos(SB, AI) = \dfrac{1}{3\sqrt{5}} \\
& \cos(SB, AI) = \dfrac{\sqrt{5}}{15} \\
\end{aligned}$