Đáp án + Giải thích các bước giải:

Ta có: $A$ chia $9$ dư $2$

Suy ra $S(A)$ chia $9$ dư $2$

Vì $S(A)$ chia $9$ dư $2$ nên $S(S(A))$ chia $9$ dư $2$

Do đó $S(S(S(A)))$ chia $9$ cũng dư $2$ và $B = S(S(S(S(A))))$ chia $9$ cũng dư $2$

Do $A$ có $2024$ chữ số nên $A$ có giá trị lớn nhất là $\underbrace{999\ldots 999}_{2024\text{ chữ số}}$ và giá trị nhỏ nhất là $1\underbrace{000\ldots 000}_{2023\text{ chữ số }0}$

Suy ra $1 \le S(A) \le 18216$

Để $S(S(A))$ lớn nhất thì $S(A)$ có nhiều chữ số nhất và mỗi chữ số trong $S(A)$ đều lớn nhất

Do đó khi $S(S(A))$ lớn nhất thì chắc chắn $S(A)$ rơi vào $1$ trong $2$ trường hợp sau:

$\textbf{TH}_1: S(A)$ có $4$ chữ số

Suy ra $S(A) = \overline{a999}$ và $S(S(A)) = 27 + a$

Khi này $a$ tối đa là $9$ và $S(S(A))$ lớn nhất là $27 + 9 = 36$

$\textbf{TH}_2: S(A)$ có $5$ chữ số

Suy ra $S(A) =\overline{1a999}$ và $S(S(A)) = 28 + a$

Mà $17999 < 18216 < 18999$ nên $a \le 7$

Khi này $a$ tối đa là $7$ và $S(S(A))$ lớn nhất là $28 + 7 = 35$

Do đó $S(S(A))$ lớn nhất khi $S(A) = 9999$, khi này $S(S(A)) = 36$

Suy ra $1 \le S(S(A)) \le 36$

$S(S(S(A)))$ lớn nhất khi $S(S(A)) = 29$, khi này $S(S(S(A))) = 11$

Suy ra $1 \le S(S(S(A))) \le 11$

$B = S(S(S(S(A))))$ lớn nhất khi $S(S(S(A))) = 9$, khi này $B = S(S(S(S(A)))) = 9$

Suy ra $1 \le B \le 9$

Mà $B$ chia $9$ dư $2$ nên $B = 2$

Vậy $B = 2$