Ta có:

`A=3/4+8/9+15/16+...+2499/2500`

`=(1-1/4)+(1-1/9)+(1-1/16)+...+(1-1/2500)`

`=(1-1/(2²))+(1-1/(3²))+(1-1/(4²))+...+(1-1/(50²))`

`=49-(1/(2²)+1/(3²)+1/(4²)+...+1/(50²))`

Đặt `B=1/(2²)+1/(3²)+1/(4²)+...+1/(50²)`. Khi đó ta có `A=49-B`

Vì `B=(1/(2²)+1/(3²)+1/(4²)+...+1/(50²))>0`

`⇒A=49-B<49` `(1)`

Ta có:

`*1/(2²)<1/(1.2)`

`*1/(3²)<1/(2.3)`

`*1/(4²)<1/(3.4)`

`*...`

`*1/(50²)<1/(49.50)`

`⇒` `B<1/(1.2)+1/(2.3)+1/(3.4)+...+1/(49.50)`

`⇔` `B<1-1/50`

`⇒` `B<1` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `⇒` `A=49-B>49-1=48` `⇒` `48<A<49` (đpcm)