Gọi O là tâm đg tròn đường kính BC.

Vì E,F ∈ (O) nên $\widehat{BEC}$ = $\widehat{BFC}$ = $90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> BE $\bot$ AC và CF $\bot$ AB 

Trong ΔABC, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, suy ra H là trực tâm Δ

Khi đó, đường thẳng AH cắt BC tại D thì AD $\bot$ BC tại D

Áp dụng định lý Ceva cho 3 đg cao AD,BE,CF đồng quy tại H trong ΔABC:

$$\frac{DB}{DC} \cdot \frac{EC}{EA} \cdot \frac{FA}{FB} = 1 \quad (1)$$

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm M,F,E thẳng hàng cắt cả 3 cạnh ΔABC

$$\frac{MB}{MC} \cdot \frac{EC}{EA} \cdot \frac{FA}{FB} = 1 \quad (2)$$
(1)(2) => $$\frac{DB}{DC} = \frac{MB}{MC}$$

 Gọi R là bán kính đường tròn (O), ta có OB = OC = R

Đặt OD = x, OM = y. Ta có:

DB = R - x

DC = R + x

MB = y - R

MC = y + R

Thay vào tỉ lệ thức trên:

$$\frac{y - R}{y + R} = \frac{R - x}{R + x}$$ $$\Leftrightarrow (y - R)(R + x) = (R - x)(y + R)$$ $$\Leftrightarrow yR + xy - R^2 - Rx = Ry + R^2 - xy - xR$$ $$\Leftrightarrow 2xy = 2R^2 \Rightarrow R^2 = x \cdot y$$

Vì OE là bán kính đg tròn (O) nên OE = R, do đó

$$OE^2 = OD \cdot OM \Rightarrow \frac{OD}{OE} = \frac{OE}{OM}$$

Xét ΔODE và ΔOEM có:

$\widehat{O}$ chung

$\dfrac{OD}{OE}$ = $\dfrac{OE}{OM}$

=> ΔODE ~ ΔOEM (c-g-c)

=> $\widehat{ODE}$ = $\widehat{OEF}$ (3)

Mặt khác ΔOEF có OE = OF = R nên ΔOEF cân tại O

=> $\widehat{OFE}$ = $\widehat{OEF}$ (4)

(3)(4) => $\widehat{ODE}$ = $\widehat{OFE}$ (đpcm)

Chúc bạn học tốt!