Xét biểu thức `A=n^2 +n+41` với `n in NN,n<40`

Thay các giá trị của `n` vào biểu thức, ta có:

Với `n=0 => A=41`(số nguyên tố)

Với `n=1 => A=43`(số nguyên tố)

Với `n=2 => A=47`(số nguyên tố)

`...`

Với `n=39 => A=39^2 +39+41=1601`(số nguyên tố)

Ta có điều kiện `n>40`

Nếu `n=40:`

`A=40^2 +40+41`

`=40(40+1)+41`

`=40*41+41`

`=41(40+1)`

`=41^2`

Vì `41^2` là một hợp số nên `n=40(ktm)`

Tương tự `n=41:`

`A=41^2 +41+41=41(41+1+1)=41*43`(là hợp số)

Vậy với mọi số tự nhiên `n in {0;1;2;3;...;39}` thì `n^2 +n+41` là số nguyên tố