Đáp án:

2) $\arctan\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$

Giải thích các bước giải:

1)

Ta có $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow BD \perp AC$

Vì $SA \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD) \Rightarrow SA \perp BD$

Ta có $BD \perp AC$, $BD \perp SA$, mà $AC$ và $SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAC)$

$\Rightarrow BD \perp (SAC)$

2)

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$

Xét $\Delta SAD$ có $M$ là trung điểm $SD$, $H$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow MH$ là đường trung bình của $\Delta SAD$

$\Rightarrow MH \parallel SA$ và $MH = \dfrac{SA}{2} = a$

Vì $SA \perp (ABCD) \Rightarrow MH \perp (ABCD)$

$\Rightarrow H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$

$\Rightarrow CH$ là hình chiếu vuông góc của $CM$ lên mặt phẳng $(ABCD)$

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng $CM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa hai đường thẳng $CM$ và $CH$ chính là $\widehat{MCH}$

Xét $\Delta CDH$ vuông tại $D$, ta có:

$CH = \sqrt{CD^2 + DH^2} = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét $\Delta MCH$ vuông tại $H$ (do $MH \perp (ABCD) \Rightarrow MH \perp CH$), ta có:

$\tan \widehat{MCH} = \dfrac{MH}{CH} = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \widehat{MCH} = \arctan\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$