Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1)

Ta có $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow BD \perp AC$

Vì $SC \perp (ABCD)$ và $BD \subset (ABCD) \Rightarrow SC \perp BD$

Ta có $BD \perp AC$, $BD \perp SC$

mà $AC$ và $SC$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAC)$

$\Rightarrow BD \perp (SAC)$

2)

Gọi $H$ là trung điểm của $CD$

Xét $\Delta SCD$ có $M$ là trung điểm $SD$, $H$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow MH$ là đường trung bình của $\Delta SCD$

$\Rightarrow MH \parallel SC$ và $MH = \dfrac{SC}{2} = a$

Vì $SC \perp (ABCD) \Rightarrow MH \perp (ABCD)$

$\Rightarrow H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$

$\Rightarrow BH$ là hình chiếu vuông góc của $BM$ lên mặt phẳng $(ABCD)$

$\Rightarrow$ Góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $BH$ cũng là $\widehat{MBH}$

Xét $\Delta BCH$ vuông tại $C$, ta có:

$BH = \sqrt{BC^2 + CH^2} = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Xét $\Delta MBH$ vuông tại $H$ (do $MH \perp (ABCD) \Rightarrow MH \perp BH$), ta có:

$\tan \widehat{MBH} = \dfrac{MH}{BH} = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \widehat{MBH} = \arctan\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)$