Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}

&\text{Bài 6:}\\

& \text{Từ tỉ lệ thức đã cho, ta áp dụng tính chất hoán vị của tỉ lệ thức:} \\
& \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:} \\
& \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{a - b}{c - d} \\
& \text{Bình phương các vế của dãy tỉ số trên, ta được:} \\
& \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 = \left(\dfrac{b}{d}\right)^2 = \left(\dfrac{a - b}{c - d}\right)^2 \quad (1) \\
& \text{Mặt khác, vì } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \text{ nên ta cũng có thể viết:} \\
& \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{a}{c} = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d} = \dfrac{ab}{cd} \quad (2) \\
& \text{Từ } (1) \text{ và } (2)\text{, suy ra: } \dfrac{(a-b)^2}{(c-d)^2} = \dfrac{ab}{cd} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
&\text{Bài 7:}\\

& \text{Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với } a\text{, phân thức thứ hai với } b\text{, phân thức thứ ba với } c\text{, ta được:} \\
& \dfrac{a(bz-cy)}{a^2} = \dfrac{b(cx-az)}{b^2} = \dfrac{c(ay-bx)}{c^2} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{abz - acy}{a^2} = \dfrac{bcx - abz}{b^2} = \dfrac{acy - bcx}{c^2} \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:} \\
& \dfrac{abz - acy}{a^2} = \dfrac{bcx - abz}{b^2} = \dfrac{acy - bcx}{c^2} = \dfrac{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{0}{a^2 + b^2 + c^2} = 0 \\
& \text{Do đó, mỗi phân thức ban đầu đều bằng 0:} \\
& \dfrac{bz-cy}{a} = 0 \Rightarrow bz - cy = 0 \Rightarrow bz = cy \Rightarrow \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} \\
& \dfrac{cx-az}{b} = 0 \Rightarrow cx - az = 0 \Rightarrow cx = az \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{z}{c} \\
& \text{Từ hai điều trên, ta suy ra: } \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
&\text{Bài 8:}\\

& \text{(với } abc \neq 0 \text{ và các mẫu đều khác 0)} \\
& \text{Đặt } \dfrac{x}{a+2b+c} = \dfrac{y}{2a+b-c} = \dfrac{z}{4a-4b+c} = k\text{. Suy ra: } \begin{cases} x = k(a+2b+c) \\ y = k(2a+b-c) \\ z = k(4a-4b+c) \end{cases} \\
& \textbf{1. Tính } x + 2y + z\text{:} \\
& x + 2y + z = k(a+2b+c) + 2k(2a+b-c) + k(4a-4b+c) \\
& = k[a+2b+c + 4a+2b-2c + 4a-4b+c] \\
& = k[(a+4a+4a) + (2b+2b-4b) + (c-2c+c)] = k(9a) = 9ak \\
& \text{Suy ra: } \dfrac{a}{x+2y+z} = \dfrac{a}{9ak} = \dfrac{1}{9k} \quad (3) \\
& \textbf{2. Tính } 2x + y - z\text{:} \\
& 2x + y - z = 2k(a+2b+c) + k(2a+b-c) - k(4a-4b+c) \\
& = k[2a+4b+2c + 2a+b-c - 4a+4b-c] \\
& = k[(2a+2a-4a) + (4b+b+4b) + (2c-c-c)] = k(9b) = 9bk \\
& \text{Suy ra: } \dfrac{b}{2x+y-z} = \dfrac{b}{9bk} = \dfrac{1}{9k} \quad (4) \\
& \textbf{3. Tính } 4x - 4y + z\text{:} \\
& 4x - 4y + z = 4k(a+2b+c) - 4k(2a+b-c) + k(4a-4b+c) \\
& = k[4a+8b+4c - 8a-4b+4c + 4a-4b+c] \\
& = k[(4a-8a+4a) + (8b-4b-4b) + (4c+4c+c)] = k(9c) = 9ck \\
& \text{Suy ra: } \dfrac{c}{4x-4y+z} = \dfrac{c}{9ck} = \dfrac{1}{9k} \quad (5) \\
& \text{Từ } (3)\text{, } (4) \text{ và } (5)\text{, ta kết luận: } \dfrac{a}{x+2y+z} = \dfrac{b}{2x+y-z} = \dfrac{c}{4x-4y+z} \text{ (Điều phải chứng minh)}
\end{aligned}$