Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 1. Cho } a, b, c, d \neq 0\text{, từ tỉ lệ thức } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \text{ hãy suy ra tỉ lệ thức } \dfrac{a-b}{a} = \dfrac{c-d}{c} \text{} \\
& \text{Ta có: } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c} \\
& \Rightarrow 1 - \dfrac{b}{a} = 1 - \dfrac{d}{c} \Rightarrow \dfrac{a-b}{a} = \dfrac{c-d}{c} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
& \text{Bài 2. Cho } a, b, c \text{ thỏa mãn } a^2 = bc\text{. Chứng minh rằng:} \\
& \text{a) } \dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+a}{c-a} \quad (a \neq b, a \neq c) \\
& \text{Từ } a^2 = bc \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{a} \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{a+b}{c+a} = \dfrac{a-b}{c-a} \\
& \Rightarrow \dfrac{a+b}{c+a} = \dfrac{a-b}{c-a} \Rightarrow \dfrac{a+b}{a-b} = \dfrac{c+a}{c-a} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
& \text{b) } \dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + a^2} = \dfrac{c}{b} \quad (b \neq 0) \\
& \text{Thay } a^2 = bc \text{ vào vế trái của đẳng thức cần chứng minh, ta được:} \\
& \dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + a^2} = \dfrac{bc + c^2}{b^2 + bc} = \dfrac{c(b+c)}{b(b+c)} = \dfrac{c}{b} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
& \text{Bài 3. Cho } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \quad (c \neq 0)\text{. Chứng minh rằng:} \\
& \text{Từ } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} \\
& \text{a) } \left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2 = \dfrac{ab}{cd} \quad (d, c \neq 0, c \neq d) \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{a-b}{c-d} \\
& \Rightarrow \left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2 = \left(\dfrac{a}{c}\right)^2 = \dfrac{a}{c} \cdot \dfrac{b}{d} = \dfrac{ab}{cd} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
& \text{b) } \left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3 = \dfrac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3} \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: } \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d} = \dfrac{a+b}{c+d} \\
& \Rightarrow \left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^3 = \left(\dfrac{a}{c}\right)^3 = \left(\dfrac{b}{d}\right)^3 = \dfrac{a^3}{c^3} = \dfrac{b^3}{d^3} = \dfrac{a^3 - b^3}{c^3 - d^3} \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
& \text{Bài 4. Cho } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\text{. Chứng minh rằng: } \dfrac{2a + 5b}{3a - 4b} = \dfrac{2c + 5d}{3c - 4d} \text{} \\
& \text{Đặt } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk, c = dk \\
& \text{Thay vào vế trái (VT): } VT = \dfrac{2bk + 5b}{3bk - 4b} = \dfrac{b(2k+5)}{b(3k-4)} = \dfrac{2k+5}{3k-4} \\
& \text{Thay vào vế phải (VP): } VP = \dfrac{2dk + 5d}{3dk - 4d} = \dfrac{d(2k+5)}{d(3k-4)} = \dfrac{2k+5}{3k-4} \\
& \Rightarrow VT = VP \text{ (Điều phải chứng minh)} \\
\\
& \text{Bài 5. Cho tỉ lệ thức } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\text{, với } a,b,c,d \neq 0\text{. Chứng minh } \dfrac{ac}{bd} = \dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} \text{} \\
& \text{Từ } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \left(\dfrac{a}{b}\right)^2 = \left(\dfrac{c}{d}\right)^2 = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = \dfrac{ac}{bd} \\
& \text{Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: } \dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{c^2}{d^2} = \dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} \\
& \text{Suy ra: } \dfrac{ac}{bd} = \dfrac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2} \text{ (Điều phải chứng minh)}
\end{aligned}$