Cứu toii với anh em oiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Câu 1. } \\
& \text{Gọi } O \text{ là tâm của hình vuông } ABCD \\
& SO \perp (ABCD) \\
& AC = BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\
& AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \\
& AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\
& \text{a) Tính chiều cao của khối chóp } S.ABCD \\
& SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} \\
& SO = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\
& SO = \sqrt{\dfrac{6a^2}{9} - \dfrac{2a^2}{4}} \\
& SO = \sqrt{\dfrac{2a^2}{3} - \dfrac{a^2}{2}} \\
& SO = \sqrt{\dfrac{4a^2 - 3a^2}{6}} \\
& SO = \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \\
& \text{b) Tính thể tích của khối chóp } S.ABCD \\
& S_{ABCD} = AB^2 = a^2 \\
& V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO \\
& V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{6} \\
& V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{18} \\
& \text{c) Tính góc giữa đường thẳng } SA \text{ và mặt phẳng } (ABCD) \\
& \text{Hình chiếu của } SA \text{ lên } (ABCD) \text{ là } AO \\
& \widehat{(SA, (ABCD))} = \widehat{SAO} \\
& \cos(\widehat{SAO}) = \dfrac{AO}{SA} \\
& \cos(\widehat{SAO}) = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}} \\
& \cos(\widehat{SAO}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{6}} \\
& \cos(\widehat{SAO}) = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\
& \widehat{SAO} = 30^\circ \\
& \text{d) Tính côsin của số đo góc nhị diện } [S,CD,B] \\
& \text{Gọi } M \text{ là trung điểm của } CD \\
& OM \perp CD \\
& SM \perp CD \\
& \text{Góc nhị diện } [S,CD,B] \text{ là } \widehat{SMO} \\
& OM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{a}{2} \\
& SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} \\
& SM = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{6}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\
& SM = \sqrt{\dfrac{6a^2}{36} + \dfrac{a^2}{4}} \\
& SM = \sqrt{\dfrac{a^2}{6} + \dfrac{a^2}{4}} \\
& SM = \sqrt{\dfrac{2a^2 + 3a^2}{12}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{6} \\
& \cos(\widehat{SMO}) = \dfrac{OM}{SM} \\
& \cos(\widehat{SMO}) = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{15}}{6}} \\
& \cos(\widehat{SMO}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{\sqrt{15}} = \dfrac{3}{\sqrt{15}} \\
& \cos(\widehat{SMO}) = \dfrac{\sqrt{15}}{5} \\
& \text{e) Tính côsin của số đo góc nhị diện } [A,SD,C] \\
& \text{Kẻ } AH \perp SD \text{ tại } H \\
& \triangle SAD = \triangle SCD \text{ (cạnh - cạnh - cạnh)} \\
& CH \perp SD \\
& \text{Góc nhị diện } [A,SD,C] \text{ là } \widehat{AHC} \\
& \text{Gọi } N \text{ là trung điểm của } AD \\
& SN \perp AD \\
& SN = \sqrt{SA^2 - AN^2} \\
& SN = \sqrt{\left(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\
& SN = \sqrt{\dfrac{6a^2}{9} - \dfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\dfrac{2a^2}{3} - \dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{6} \\
& S_{\triangle SAD} = \dfrac{1}{2} AD \cdot SN \\
& S_{\triangle SAD} = \dfrac{1}{2} a \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{6} = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{12} \\
& S_{\triangle SAD} = \dfrac{1}{2} SD \cdot AH \\
& AH = \dfrac{2 S_{\triangle SAD}}{SD} \\
& AH = \dfrac{2 \cdot \dfrac{a^2\sqrt{15}}{12}}{\dfrac{a\sqrt{6}}{3}} \\
& AH = \dfrac{a^2\sqrt{15}}{6} \cdot \dfrac{3}{a\sqrt{6}} \\
& AH = \dfrac{a\sqrt{15}}{2\sqrt{6}} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{10}}{4} \\
& CH = AH = \dfrac{a\sqrt{10}}{4} \\
& AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(\widehat{AHC}) \\
& (a\sqrt{2})^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\right)^2 - 2 \left(\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\right) \left(\dfrac{a\sqrt{10}}{4}\right) \cos(\widehat{AHC}) \\
& 2a^2 = \dfrac{10a^2}{16} + \dfrac{10a^2}{16} - 2 \cdot \dfrac{10a^2}{16} \cos(\widehat{AHC}) \\
& 2a^2 = \dfrac{5a^2}{8} + \dfrac{5a^2}{8} - \dfrac{5a^2}{4} \cos(\widehat{AHC}) \\
& 2a^2 = \dfrac{5a^2}{4} - \dfrac{5a^2}{4} \cos(\widehat{AHC}) \\
& \dfrac{5a^2}{4} \cos(\widehat{AHC}) = \dfrac{5a^2}{4} - 2a^2 \\
& \dfrac{5a^2}{4} \cos(\widehat{AHC}) = -\dfrac{3a^2}{4} \\
& \cos(\widehat{AHC}) = -\dfrac{3}{5}
\end{aligned}$