Tính tổng tất cả các nghiệm: log9(x+8)-log3(x+2)+2=0

Đáp án:

$\dfrac{77 + 9\sqrt{105}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Điều kiện xác định:

$\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > -2$

$\log_9(x+8) - \log_3(x+2) + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\log_3(x+8) - \log_3(x+2) + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \log_3(x+8) - 2\log_3(x+2) + 4 = 0$

$\Leftrightarrow \log_3(x+8) + \log_3(3^4) = \log_3((x+2)^2)$

$\Leftrightarrow \log_3[81(x+8)] = \log_3(x^2 + 4x + 4)$

$\Rightarrow 81x + 648 = x^2 + 4x + 4$

$\Leftrightarrow x^2 - 77x - 644 = 0$

$\Delta = (-77)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-644) = 8505 = (9\sqrt{105})^2$

$x_1 = \dfrac{77 + 9\sqrt{105}}{2}$

$x_2 = \dfrac{77 - 9\sqrt{105}}{2}$

$\Rightarrow x_1 = \dfrac{77 + 9\sqrt{105}}{2} > 0 > -2$ (thỏa mãn)

Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên tổng các nghiệm bằng $\dfrac{77 + 9\sqrt{105}}{2}$