Đặt A=15+252+⋯+201652016A=51​+522​+⋯+520162016​

=>5A=1+25+⋯+2016520155A=1+52​+⋯+520152016​

=>5A−A=1+25+⋯+201652015−15−252−⋯−2016520165A−A=1+52​+⋯+520152016​−51​−522​−⋯−520162016​

=>4A=1+15+152+⋯+152015−2016520164A=1+51​+521​+⋯+520151​−520162016​

Đặt B=15+152+⋯+152015B=51​+521​+⋯+520151​

=>5B=1+15+⋯+1520145B=1+51​+⋯+520141​

=>5B−B=1+15+⋯+152014−15−152−⋯−1520155B−B=1+51​+⋯+520141​−51​−521​−⋯−520151​

=>4B=1−152015=52015−1520154B=1−520151​=5201552015−1​

=>B=52015−14⋅52015B=4⋅5201552015−1​

TA có: 4A=1+15+152+⋯+152015−2016520164A=1+51​+521​+⋯+520151​−520162016​

=1+52015−14⋅52015−201652016=1+52016−5−80644⋅52016=1+14−80694⋅52016=1+4⋅5201552015−1​−520162016​=1+4⋅5201652016−5−8064​=1+41​−4⋅520168069​

=>4A<1+14=544A<1+41​=45​

=>A<516A<165​

mà 516<515=13165​<155​=31​

nên A<13A<31​ (1)

Ta có: 4A=1+15+152+⋯+152015−2016520164A=1+51​+521​+⋯+520151​−520162016​

=>20A=5+1+15+⋯+152014−20165201520A=5+1+51​+⋯+520141​−520152016​

=>20A−4A=5+1+15+⋯+152014−201652015−1−15−152−⋯−152015−20165201620A−4A=5+1+51​+⋯+520141​−520152016​−1−51​−521​−⋯−520151​−520162016​

=>16A=5−201752015−201652016>516A=5−520152017​−520162016​>5

=>A>516A>165​

=>A>416=14A>164​=41​ (2)

Từ (1),(2) suy ra 1/4<A<1/3