a) xét △ABC vuông tại A có

AC²+AB²=BC²

hay 4²+3²=BC²

25=BC²

=>BC=5(cm)

Ta có Diện tích tam giác ABC là

S ABC =$\frac{1}{2}$ ×AB×AC = $\frac{1}{2}$ ×3×4=6(cm) (1)

Ngoài ra: S ABC = $\frac{1}{2}$ ×AH×BC=$\frac{1}{2}$ ×AH×5 = $\frac{5}{2}$ ×AH (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

6=$\frac{5}{2}$ ×AH

=>AH=6 ÷ $\frac{5}{2}$ =$\frac{12}{5}$ = 2.4(cm)

B)xét △ABD và △HBI có

∠IHB=∠DAB=90°(△ABC vuông tại A, AH là đường)

∠HBI=∠ABD (BD là đường phân giác của ∠CBA)

=>△ABD ~ △HBI (g.g)

c)Xét ΔABC và ΔHBA có

∠CAB=∠AHB(vì ΔABC vuông tại A, AHlaf đường cao)

∠HBA chung

=>ΔABC~ΔHBA(g.g)

=>$\frac{AB}{BH}$ = $\frac{BC}{AB}$ 

=>AB.AB=BH.BC

     AB²=BH.BC

d)Xét ΔABH có

BI là đường phân giác của ∠ABH (BD là đường phân giác của ∠ABC)

=>$\frac{IH}{IA}$ = $\frac{BH}{AB}$ 

Xét ΔABC có

BD là đường phân giác của ∠ABC

=>$\frac{AD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$ 

Ta có: $\frac{IH}{IA}$ = $\frac{BH}{AB}$ (cmt)

          $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$ (cmt)

          $\frac{AB}{BH}$ = $\frac{BC}{AB}$ => $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{AB}{BC}$(câu c)

=>$\frac{IH}{IA}$ = $\frac{BH}{AB}$ = $\frac{AD}{DC}$ = $\frac{AB}{BC}$

hay $\frac{IH}{IA}$ = $\frac{AD}{DC}$ (đpcm)

Chúc bạn học tốt