Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$(2k-1)\cos 2x + k\sin 2x = k-1$

$A\sin 2x + B\cos 2x = C$ với $A = k$, $B = 2k-1$, $C = k-1$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là $A^2 + B^2 \ge C^2$:

$\Leftrightarrow k^2 + (2k-1)^2 \ge (k-1)^2$

$\Leftrightarrow k^2 + (4k^2 - 4k + 1) \ge k^2 - 2k + 1$

$\Leftrightarrow 4k^2 - 2k \ge 0$

$\Leftrightarrow 2k(2k - 1) \ge 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k \ge \dfrac{1}{2} \\ k \le 0 \end{array}\right.$

Theo đề bài $k \in [-5; 5]$ và $k \in \mathbb{Z}$:

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases} k \ge \dfrac{1}{2} \\ k \in [-5; 5] \\ k \in \mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow k \in \{1; 2; 3; 4; 5\} \\ \begin{cases} k \le 0 \\ k \in [-5; 5] \\ k \in \mathbb{Z} \end{cases} \Rightarrow k \in \{-5; -4; -3; -2; -1; 0\} \end{array}\right.$

$\Rightarrow k \in \{-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5\}$

Vậy có $11$ giá trị nguyên của tham số $k$ thuộc đoạn $[-5; 5]$ để phương trình đã cho có nghiệm