Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Hai điểm } A, B \text{ nằm ở cùng phía đối với đường thẳng } \Delta \\
& \text{Đặt } f(x,y) = 3x + 4y - 1. \\
& \text{Tính giá trị của hàm } f(x,y) \text{ tại tọa độ điểm } A \text{ và } B: \\
& f(x_A,y_A) = 3(2) + 4(5) - 1 \\
& f(x_A,y_A) = 25 \\
& f(x_B,y_B) = 3(18) + 4(-7) - 1 \\
& f(x_B,y_B) = 54 - 28 - 1 \\
& f(x_B,y_B) = 25 \\
& \text{Xét tích hai giá trị vừa tìm được:} \\
& f(x_A,y_A) \cdot f(x_B,y_B) = 25 \cdot 25 \\
& f(x_A,y_A) \cdot f(x_B,y_B) = 625 > 0 \\
& \text{Kết luận hai điểm } A \text{ và } B \text{ nằm cùng phía đối với đường thẳng } \Delta. \text{ Mệnh đề a đúng.} \\
& \text{b) Nếu } H(a;b) \text{ là hình chiếu của điểm } A \text{ trên đường thẳng } \Delta \text{ thì } a+b=3 \\
& \text{Gọi } d \text{ là đường thẳng đi qua } A \text{ và vuông góc với } \Delta. \\
& \text{Đường thẳng } \Delta \text{ có vectơ pháp tuyến } \vec{n_\Delta} = (3; 4). \\
& \text{Đường thẳng } d \text{ vuông góc với } \Delta \text{ nên nhận } \vec{n_\Delta} \text{ làm vectơ chỉ phương.} \\
& \text{Vectơ pháp tuyến của đường thẳng } d \text{ là } \vec{n_d} = (4; -3). \\
& \text{Phương trình tổng quát của đường thẳng } d: \\
& 4(x - 2) - 3(y - 5) = 0 \\
& 4x - 8 - 3y + 15 = 0 \\
& 4x - 3y + 7 = 0 \\
& \text{Tọa độ hình chiếu } H(a;b) \text{ của } A \text{ trên } \Delta \text{ là nghiệm của hệ phương trình:} \\
& \begin{cases} 3x + 4y - 1 = 0 \\ 4x - 3y + 7 = 0 \end{cases} \\
& \begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 4x - 3y = -7 \end{cases} \\
& \begin{cases} 9x + 12y = 3 \\ 16x - 12y = -28 \end{cases} \\
& \begin{cases} 25x = -25 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} \\
& \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases} \\
& \text{Tọa độ điểm } H \text{ là } (-1; 1) \text{ suy ra } a = -1, b = 1. \\
& \text{Tính tổng } a + b: \\
& a + b = -1 + 1 \\
& a + b = 0 \\
& \text{Kết luận } a + b = 0 \neq 3. \text{ Mệnh đề b sai.} \\
& \text{c) } C(x_c;y_c) \in \Delta \text{ thỏa mãn } |CA-CB| \text{ lớn nhất. Khi đó } x_c+2y_c=5 \\
& \text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng } AB \text{ là } \vec{AB} = (16; -12). \\
& \text{Vectơ pháp tuyến của đường thẳng } AB \text{ là } \vec{n_{AB}} = (12; 16) = 4(3; 4). \\
& \text{Đường thẳng } AB \text{ có cùng vectơ pháp tuyến với } \Delta \text{ và } f(x_A,y_A) \neq 0 \text{ nên } AB \parallel \Delta. \\
& \text{Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ba điểm } C, A, B \text{ ta luôn có } |CA - CB| \le AB. \\
& \text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi } A, B, C \text{ thẳng hàng và } C \text{ nằm ngoài đoạn } AB. \\
& \text{Vì } AB \parallel \Delta \text{ nên không tồn tại điểm } C \in \Delta \text{ nào để } A, B, C \text{ thẳng hàng.} \\
& \text{Kết luận không tồn tại điểm } C \text{ thỏa mãn yêu cầu lớn nhất. Mệnh đề c sai.} \\
& \text{d) } M(x_0;y_0) \in \Delta \text{ thỏa mãn } MA+MB \text{ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó } x_0+5y_0=1 \\
& \text{Gọi } A' \text{ là điểm đối xứng của } A \text{ qua đường thẳng } \Delta. \\
& \text{Điểm } H \text{ tìm được ở ý b là trung điểm của đoạn thẳng } AA'. \\
& \text{Tọa độ điểm } A': \\
& x_{A'} = 2x_H - x_A \\
& x_{A'} = 2(-1) - 2 \\
& x_{A'} = -4 \\
& y_{A'} = 2y_H - y_A \\
& y_{A'} = 2(1) - 5 \\
& y_{A'} = -3 \\
& \text{Tọa độ } A' \text{ là } (-4; -3). \\
& \text{Vì } A, B \text{ nằm cùng phía so với } \Delta \text{ nên } M, A' \text{ nằm khác phía so với } \Delta \text{ hoặc cắt nhau.} \\
& \text{Ta có } MA = MA' \text{ nên } MA + MB = MA' + MB. \\
& \text{Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ba điểm } M, A', B: \\
& MA' + MB \ge A'B \\
& \text{Giá trị nhỏ nhất của } MA + MB \text{ đạt được khi } M, A', B \text{ thẳng hàng.} \\
& \text{Điểm } M \text{ là giao điểm của đường thẳng } A'B \text{ và đường thẳng } \Delta. \\
& \text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng } A'B \text{ là } \vec{A'B} = (22; -4) = 2(11; -2). \\
& \text{Vectơ pháp tuyến của đường thẳng } A'B \text{ là } \vec{n_{A'B}} = (2; 11). \\
& \text{Phương trình tổng quát của đường thẳng } A'B: \\
& 2(x + 4) + 11(y + 3) = 0 \\
& 2x + 8 + 11y + 33 = 0 \\
& 2x + 11y + 41 = 0 \\
& \text{Tọa độ điểm } M(x_0; y_0) \text{ là nghiệm của hệ phương trình:} \\
& \begin{cases} 3x + 4y - 1 = 0 \\ 2x + 11y + 41 = 0 \end{cases} \\
& \begin{cases} 3x + 4y = 1 \\ 2x + 11y = -41 \end{cases} \\
& \begin{cases} 6x + 8y = 2 \\ 6x + 33y = -123 \end{cases} \\
& \begin{cases} -25y = 125 \\ 3x + 4y = 1 \end{cases} \\
& \begin{cases} y = -5 \\ 3x + 4(-5) = 1 \end{cases} \\
& \begin{cases} y = -5 \\ 3x = 21 \end{cases} \\
& \begin{cases} x = 7 \\ y = -5 \end{cases} \\
& \text{Tọa độ điểm } M \text{ là } (7; -5) \text{ suy ra } x_0 = 7, y_0 = -5. \\
& \text{Tính giá trị biểu thức } x_0 + 5y_0: \\
& x_0 + 5y_0 = 7 + 5(-5) \\
& x_0 + 5y_0 = 7 - 25 \\
& x_0 + 5y_0 = -18 \\
& \text{Kết luận } x_0 + 5y_0 = -18 \neq 1. \text{ Mệnh đề d sai.}
\end{aligned}$