Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a√3. Cạnh bên SB vuông góc với đáy, SB = a. Gọi CI là đường cao trong tam giác SAC. CMR:

a/ (SCD) vuông (SBC)

b/ (SBD) vuông (SAC)

c/Tính ((SCD); (ABCD))

d/ (BDI) vuông (SAD)

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{a/ Chứng minh } (SCD) \perp (SBC) \\
&CD \perp BC \text{ (giả thiết đáy ABCD là hình vuông)} \\
&SB \perp (ABCD) \\
&CD \subset (ABCD) \\
&SB \perp CD \\
&CD \perp BC \text{ và } SB \perp CD \text{, } BC \cap SB = B \\
&CD \perp (SBC) \\
&CD \subset (SCD) \\
&(SCD) \perp (SBC) \\
\\
&\text{b/ Chứng minh } (SBD) \perp (SAC) \\
&AC \perp BD \text{ (tính chất hai đường chéo hình vuông ABCD)} \\
&SB \perp (ABCD) \\
&AC \subset (ABCD) \\
&SB \perp AC \\
&AC \perp BD \text{ và } SB \perp AC \text{, } BD \cap SB = B \\
&AC \perp (SBD) \\
&AC \subset (SAC) \\
&(SAC) \perp (SBD) \\
\\
&\text{c/ Tính } ((SCD); (ABCD)) \\
&(SCD) \cap (ABCD) = CD \\
&CD \perp (SBC) \text{ (chứng minh ở câu a)} \\
&SC \subset (SBC) \\
&CD \perp SC \\
&BC \subset (ABCD) \\
&CD \perp BC \\
&((SCD); (ABCD)) = (SC, BC) = \widehat{SCB} \\
&\Delta SBC \text{ vuông tại } B \text{ (do } SB \perp (ABCD) \text{ và } BC \subset (ABCD)\text{)} \\
&\tan \widehat{SCB} = \dfrac{SB}{BC} \\
&\tan \widehat{SCB} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} \\
&\tan \widehat{SCB} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\
&\widehat{SCB} = 30^\circ \\
\\
&\text{d/ Chứng minh } (BDI) \perp (SAD) \\
&AB = a\sqrt{3} \\
&BC = a\sqrt{3} \\
&AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{3})^2} = a\sqrt{6} \\
&SA = \sqrt{SB^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = 2a \\
&SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = 2a \\
&\cos \widehat{ASC} = \dfrac{SA^2 + SC^2 - AC^2}{2 \cdot SA \cdot SC} \\
&\cos \widehat{ASC} = \dfrac{(2a)^2 + (2a)^2 - (a\sqrt{6})^2}{2 \cdot 2a \cdot 2a} \\
&\cos \widehat{ASC} = \dfrac{4a^2 + 4a^2 - 6a^2}{8a^2} \\
&\cos \widehat{ASC} = \dfrac{2a^2}{8a^2} = \dfrac{1}{4} \\
&CI \perp SA \text{ tại } I \text{ (giả thiết CI là đường cao của } \Delta SAC\text{)} \\
&\Delta SIC \text{ vuông tại } I \\
&SI = SC \cdot \cos \widehat{ASC} \\
&SI = 2a \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{a}{2} \\
&SB^2 = a^2 \\
&SI \cdot SA = \dfrac{a}{2} \cdot 2a = a^2 \\
&SB^2 = SI \cdot SA \\
&\dfrac{SB}{SA} = \dfrac{SI}{SB} \\
&\widehat{ASB} \text{ chung} \\
&\Delta SIB \sim \Delta SBA \text{ (cạnh - góc - cạnh)} \\
&\widehat{SIB} = \widehat{SBA} = 90^\circ \\
&BI \perp SA \\
&BD \perp AC \\
&BD \perp SB \text{ (do } SB \perp (ABCD) \text{ và } BD \subset (ABCD)\text{)} \\
&BD \perp (SAC) \\
&SA \subset (SAC) \\
&BD \perp SA \\
&SA \perp BI \text{ và } SA \perp BD \text{, } BI \cap BD = B \\
&SA \perp (BDI) \\
&SA \subset (SAD) \\
&(BDI) \perp (SAD) \\
\end{aligned}$