Cho hình chóp S.MNPQ có đáy MNPQ là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên SM vuông góc với đáy, SM=a√6. Gọi MI, MK là đường cao trong các tam giác SMN, SMQ. CMR:

a/ (SPN) vuông (SMN)

b/ (SNQ) vuông (SMP)

c/ Tính ((SPQ):(MNPQ))

d/ (MIK) vuông (SMP)

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Chứng minh (SPN) vuông góc với (SMN)} \\
& MNPQ \text{ là hình vuông} \\
& PN \perp MN \\
& SM \perp (MNPQ) \\
& PN \subset (MNPQ) \\
& SM \perp PN \\
& \begin{cases} PN \perp MN \\ PN \perp SM \end{cases} \\
& PN \perp (SMN) \\
& PN \subset (SPN) \\
& (SPN) \perp (SMN) \\
& \\
& \text{b) Chứng minh (SNQ) vuông góc với (SMP)} \\
& MNPQ \text{ là hình vuông} \\
& NQ \perp MP \\
& SM \perp (MNPQ) \\
& NQ \subset (MNPQ) \\
& SM \perp NQ \\
& \begin{cases} NQ \perp MP \\ NQ \perp SM \end{cases} \\
& NQ \perp (SMP) \\
& NQ \subset (SNQ) \\
& (SNQ) \perp (SMP) \\
& \\
& \text{c) Tính góc giữa (SPQ) và (MNPQ)} \\
& (SPQ) \cap (MNPQ) = PQ \\
& MNPQ \text{ là hình vuông} \\
& PQ \perp MQ \\
& SM \perp (MNPQ) \\
& PQ \subset (MNPQ) \\
& SM \perp PQ \\
& \begin{cases} PQ \perp MQ \\ PQ \perp SM \end{cases} \\
& PQ \perp (SMQ) \\
& SQ \subset (SMQ) \\
& PQ \perp SQ \\
& \text{Góc giữa mặt phẳng (SPQ) và mặt phẳng (MNPQ) là góc } \widehat{SQM} \\
& \Delta SMQ \text{ vuông tại } M \\
& \tan \widehat{SQM} = \dfrac{SM}{MQ} \\
& \tan \widehat{SQM} = \dfrac{a\sqrt{6}}{a} \\
& \tan \widehat{SQM} = \sqrt{6} \\
& \widehat{SQM} = \arctan(\sqrt{6}) \\
& \\
& \text{d) Chứng minh (MIK) vuông góc với (SMP)} \\
& PN \perp (SMN) \\
& MI \subset (SMN) \\
& MI \perp PN \\
& MI \perp SN \\
& \begin{cases} MI \perp PN \\ MI \perp SN \end{cases} \\
& MI \perp (SPN) \\
& SP \subset (SPN) \\
& MI \perp SP \\
& PQ \perp (SMQ) \\
& MK \subset (SMQ) \\
& MK \perp PQ \\
& MK \perp SQ \\
& \begin{cases} MK \perp PQ \\ MK \perp SQ \end{cases} \\
& MK \perp (SPQ) \\
& SP \subset (SPQ) \\
& MK \perp SP \\
& \begin{cases} SP \perp MI \\ SP \perp MK \end{cases} \\
& SP \perp (MIK) \\
& SP \subset (SMP) \\
& (MIK) \perp (SMP) \\
\end{aligned}$