Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Với $a, b, c > 0$, xét hiệu:

$a^3 + b^3 - ab(a + b) = (a + b)(a^2 - ab + b^2) - ab(a + b)$

$= (a + b)(a^2 - ab + b^2 - ab) = (a + b)(a^2 - 2ab + b^2)$

$= (a + b)(a - b)^2$

Vì $a, b > 0 \Rightarrow a + b > 0$ và $(a - b)^2 \ge 0$ với mọi $a, b$

$\Rightarrow (a + b)(a - b)^2 \ge 0 \Rightarrow a^3 + b^3 \ge ab(a + b)$

$\Rightarrow a^3 + b^3 + abc \ge ab(a + b) + abc = ab(a + b + c)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{a^3 + b^3 + abc} \le \dfrac{1}{ab(a + b + c)}$ (1)

Tương tự, ta có:

$b^3 + c^3 \ge bc(b + c) \Rightarrow b^3 + c^3 + abc \ge bc(b + c) + abc = bc(a + b + c)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{b^3 + c^3 + abc} \le \dfrac{1}{bc(a + b + c)}$ (2)

$c^3 + a^3 \ge ca(c + a) \Rightarrow c^3 + a^3 + abc \ge ca(c + a) + abc = ca(a + b + c)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{c^3 + a^3 + abc} \le \dfrac{1}{ca(a + b + c)}$ (3)

Cộng vế theo vế (1), (2) và (3):

$\dfrac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \dfrac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \dfrac{1}{c^3 + a^3 + abc} \le \dfrac{1}{ab(a + b + c)} + \dfrac{1}{bc(a + b + c)} + \dfrac{1}{ca(a + b + c)}$

$VT \le \dfrac{1}{a + b + c} \left( \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} \right)$

$VT \le \dfrac{1}{a + b + c} \left( \dfrac{c + a + b}{abc} \right)$

$VT \le \dfrac{a + b + c}{abc(a + b + c)} = \dfrac{1}{abc}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$