a) 

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có 

`AB²`+`AC²``=``BC²` `(` Pythagore `)`

⇒ `BC``=``\sqrt{AB^2+AC^2}` 

⇒ `BC``=``\sqrt{3^2+4^2}`

⇒ `BC``=``\sqrt{25}``=``5cm`

Có `S_{ABC}``=``{AB.AC}/{2}``=``{AH.BC}/{2}`

⇒ `AB.AC``=``AH.BC`

⇒ `AH``=``2,4cm`

b) Xét `ΔABD` và `ΔHBI` có

+ $\widehat{BAD}$`=`$\widehat{BHI}$`=``90^0`   

+ $\widehat{ABD}$`=`$\widehat{HBI}$ `(` `BD` là phân giác $\widehat{ABH}$ `)`

⇒ `ΔABD`$\sim$`ΔHBI` `(` g.g `)`

c) Xét `ΔABC` và `ΔHBA` có

+ $\widehat{BAC}$`=`$\widehat{BHA}$`=``90^0` 

+ $\widehat{ABC}$ chung

⇒ `ΔABC`$\sim$`ΔHBA` `(` g.g `)`   

⇒ `{AB}/{HB}``=``{BC}/{AB}`

⇒ `AB²``=``BH.BC`

d) Xét `ΔABC` có `BD` là phân giác $\widehat{ABC}$  

 ⇒ `{AB}/{BC}``=``{AD}/{CD}` `(` tính chất đường phân giác `)`

Tương tự với `ΔABH` ta có `{BH}/{AB}``=``{IH}/{AI}`

Ta có `{AB}/{HB}``=``{BC}/{AB}` `( cmt `)` 

⇒ `{AB}/{BC}``=``{BH}/{AB}` 

⇒ `{IH}/{IA}``=``{AD}/{CD}`