Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)

$v(x) = \log_2 \left( \dfrac{x^2+1}{x^2+3} \right)$

ĐKXĐ: $\dfrac{x^2+1}{x^2+3} > 0$

$\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2+1 \ge 1 \\ x^2+3 \ge 3 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \dfrac{x^2+1}{x^2+3} > 0, \forall x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow D_v = \mathbb{R} \neq (0; +\infty)$

$\Rightarrow$ Sai

b)

$v(-2) = \log_2 \left( \dfrac{(-2)^2+1}{(-2)^2+3} \right) = \log_2 \dfrac{5}{7} < 0$

$\forall x \in (-4; 3) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2(x-2)^2 \ge 0 \\ x+4 > 0 \\ (x-3)^3 < 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow x^2(x-2)^2(x-3)^3(x+4) \le 0$

$\Rightarrow g'(x) = \dfrac{x^2(x-2)^2(x-3)^3(x+4)}{v(-2)} \ge 0, \forall x \in (-4; 3)$

$\Rightarrow g(x)$ đồng biến trên khoảng $(-4; 3)$

$\Rightarrow$ Đúng

c)

$u(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x^2+x+2}{x^2-1} = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \neq \pm 1 \\ x^2+x+2 = 0 \end{array} \right.$

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$

$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $u(x)$ không cắt trục hoành

$\Rightarrow$ Sai

d)

$f(x) = \dfrac{x^2+x+2}{x^2-1} + \log_2 \left( \dfrac{x^2+1}{x^2+3} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} \lim_{x \to 1} f(x) = \infty \\ \lim_{x \to -1} f(x) = \infty \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ Đồ thị có 2 TCĐ: $x = 1, x = -1$

$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} u(x) + \lim_{x \to \pm \infty} v(x) = 1 + 0 = 1$

$\Rightarrow$ Đồ thị có TCN $y = 1$, không có TCX

$\Rightarrow$ Sai