Đáp án:

a) $\widehat{ADB}=90^\circ=\widehat{AEB}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AC\,\bot\,BE,AD\,\bot\, CE$

$\Rightarrow\widehat{HEC}=90^\circ=\widehat{HDC}$

$\Rightarrow D,E$ thuộc đường tròn đường kính $HC$

$\Rightarrow CDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $HC$.

$I$ là tâm của đường tròn đường kính $HC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $HC$.

b) $AC\,\bot\,BE,AD\,\bot\,CE$

$\Rightarrow BE,AD$ là đường cao của $\Delta ABC$

Mà $BE\cap AD=H$$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$CDHE$ nội tiếp $\Rightarrow\widehat{HCD}=\widehat{BED}$

$ABDE$ nội tiếp $\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BED}$

$\Rightarrow\widehat{HCD}=\widehat{BAD}$

Mà $\widehat{CDH}=90^\circ=\widehat{ADB}$

$\Rightarrow\Delta CDH\backsim\Delta ADB$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{HC}{HD}=\dfrac{AB}{BD}\Rightarrow\dfrac{2HI}{HD}=\dfrac{2BO}{BD}$

$\Rightarrow\dfrac{HI}{HD}=\dfrac{BO}{BD}$

Cộng với $\widehat{CHD}=\widehat{ABD}$ ($\Delta CDH\backsim\Delta ADB$)

$\Rightarrow\Delta IHD\backsim\Delta OBD$ (cạnh-góc-cạnh)

$\Rightarrow\widehat{IDH}=\widehat{BDO}$

$\Rightarrow\widehat{IDH}+\widehat{ADO}=\widehat{BDO}+\widehat{ADO}$

$\Rightarrow\widehat{IDO}=\widehat{ADB}=90^\circ$

$\Rightarrow ID$ là tiếp tuyến của $(O)$.