Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{CHA}=\widehat{COA}=90^o$

$\to CHOA$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

b. Vì $AB\perp CD=O$ là trung điểm mỗi đường

$\to ACBD$ là hình thoi

$\to AC=CB=BD=DA$

$\to \widehat{AND}=\widehat{NCA}+\widehat{NAC}=\widehat{ADO}+\widehat{CDM}=\widehat{ADF}$

Tương tự: $\widehat{AFD}=\widehat{MAD}=\widehat{NAD}$

$\to \Delta AND\sim\Delta FDA(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{FA}=\dfrac{DN}{AD}$

$\to DN.AF=AD^2$

$\begin{aligned}
& \text{Ta có: } \widehat{NMF} = \widehat{AMD} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOD} = 45^\circ \\
& \rightarrow S_{MNF} = \dfrac{1}{2}MN \cdot MF \sin \widehat{NMF} = \dfrac{1}{2}MN \cdot MF \sin 45^\circ \\
& \text{Để } \Delta MNF \text{ lớn nhất} \\
& \rightarrow MN \cdot MF \text{ lớn nhất} \\
& \text{Ta có: } \\
& \widehat{CMN} = \widehat{CMA} = \dfrac{1}{2}\widehat{COA} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOD} = \widehat{DMB} = \widehat{FMB} \\
& \widehat{MNC} = \widehat{NMD} + \widehat{NDM} = \widehat{CBA} + \widehat{CBM} = \widehat{MBA} = \widehat{MBF} \\
& \rightarrow \Delta MNC \sim \Delta MBF(g.g) \\
& \rightarrow \dfrac{MN}{MB} = \dfrac{MC}{MF} \\
& \rightarrow MN \cdot MF = MB \cdot MC \\
& \text{Để } MN \cdot MF \text{ lớn nhất} \\
& \rightarrow MB \cdot MC \text{ lớn nhất} \\
& \text{Mà } ACMB \text{ nội tiếp} \\
& \rightarrow MC \cdot AB + MB \cdot AC = MA \cdot BC \text{ (Định lý ptoleme)} \\
& \rightarrow MC \cdot 2R + MB \cdot R\sqrt{2} = MA \cdot R\sqrt{2} \\
& \rightarrow 2MC + MB\sqrt{2} = MA\sqrt{2} \\
& \rightarrow MC\sqrt{2} + MB = MA \\
& \text{Ta có: } \\
& 2R \ge MA = MC\sqrt{2} + MB \ge 2\sqrt{MC \cdot \sqrt{2} \cdot MB} \\
& \rightarrow R^2 \ge MC \cdot MB\sqrt{2} \\
& \rightarrow MC \cdot MB \le \dfrac{R^2}{\sqrt{2}} \\
& \text{Dấu } = \text{ xảy ra khi } MC\sqrt{2} = MB
\end{aligned}$