Đáp án:

a) $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow\widehat{ABO}=90^\circ$

$\Rightarrow B$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

$AC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow\widehat{ACO}=90^\circ$

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

$\Rightarrow ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

b) Gọi $BF$ là đường kính của $(O)$

$\widehat{ABD}+\widehat{DBF}=90^\circ$

$\widehat{DBF}+\widehat{BFD}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BFD}$

$BDCF$ nội tiếp đường tròn $(O)$

$\Rightarrow\widehat{BFD}=\widehat{BCD}$ (cùng chắn cung $BD$).

$AB=AC\Rightarrow A$ thuộc trung trực $BC$

$OB=OC\Rightarrow O$ thuộc trung trực $BC$

$\Rightarrow AO$ thuộc trung trực $BC$, $D\in AO$

$\Rightarrow BD=CD\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{CBD}$

$\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BCD}=\widehat{BFD}=\widehat{ABD}$

$\Rightarrow BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$.

c) $\widehat{OBH}=90^\circ\Rightarrow B$ thuộc đường tròn đường kính $OH$

$\widehat{OEH}=90^\circ\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $OH$

$\Rightarrow OHBE$ nội tiếp đường tròn đường kính $OH$

$\Rightarrow\widehat{OHE}=\widehat{OBE}$ (1)

$\widehat{OCK}=90^\circ\Rightarrow C$ thuộc đường tròn đường kính $OK$

$\widehat{OEK}=90^\circ\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $OK$

$\Rightarrow OEKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OK$

$\Rightarrow\widehat{OKE}=\widehat{OCE}$ (2)

$\widehat{OBE}=\widehat{OCE}$ ($\Delta OBC$ cân tại $O$) (3)

(1), (2) và (3) $\Rightarrow\widehat{OHE}=\widehat{OKE}$

$\Rightarrow\Delta OHK$ cân tại $O$.