Câu 15. Có hai cái hộp đựng tất cả 15 viên bi, các viên bi chỉ có màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp1 viên bi. Biết số bi ở hộp1 nhiều hơn hộp 2, số bi đen ở hộp1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 và xác suất để lấy được 2 viên đen là 5/28 . Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng (làm tròn đến hàng phần trăm).

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{Gọi số bi trong hộp 1 và hộp 2 lần lượt là } n_1 \text{ và } n_2 \text{ (điều kiện } n_1, n_2 \in \mathbb{N}^* \text{).} \\
&n_1 + n_2 = 15 \\
&\text{Số bi hộp 1 nhiều hơn hộp 2 nên } n_1 > n_2 \text{, kết hợp với tổng bằng 15 ta được } n_1 \ge 8 \text{ và } n_2 \le 7 \text{.} \\
&\text{Gọi số bi đen trong hộp 1 và hộp 2 lần lượt là } b_1 \text{ và } b_2 \text{ (điều kiện } b_1, b_2 \in \mathbb{N}, b_1 \le n_1, b_2 \le n_2 \text{).} \\
&\text{Số bi đen ở hộp 1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 nên } b_1 > b_2 \text{.} \\
&\text{Xác suất lấy được 2 viên bi đen là tích xác suất lấy bi đen từ mỗi hộp:} \\
&\dfrac{b_1}{n_1} \cdot \dfrac{b_2}{n_2} = \dfrac{5}{28} \\
&\dfrac{b_1 b_2}{n_1 n_2} = \dfrac{5}{28} \\
&28b_1 b_2 = 5n_1 n_2 \\
&\text{Vì } 5 \text{ và } 28 \text{ nguyên tố cùng nhau, nên } n_1 n_2 \text{ phải chia hết cho 28.} \\
&\text{Các cặp } (n_1; n_2) \text{ thỏa mãn } n_1 + n_2 = 15 \text{ và } n_1 \ge 8 \text{ là } (14; 1), (13; 2), (12; 3), (11; 4), (10; 5), (9; 6), (8; 7)\text{.} \\
&\text{Chỉ có cặp } (8; 7) \text{ cho tích } 8 \cdot 7 = 56 \text{ chia hết cho 28.} \\
&n_1 = 8 \\
&n_2 = 7 \\
&28b_1 b_2 = 5 \cdot 56 \\
&b_1 b_2 = 10 \\
&\text{Các cặp } (b_1; b_2) \text{ là các ước nguyên dương của 10 bao gồm } (10; 1) \text{ và } (5; 2)\text{.} \\
&\text{Do điều kiện } b_1 \le n_1 = 8 \text{, cặp } (10; 1) \text{ không thỏa mãn.} \\
&\text{Cặp } (5; 2) \text{ thỏa mãn điều kiện } b_1 \le 8 \text{, } b_2 \le 7 \text{ và } b_1 > b_2 \text{.} \\
&b_1 = 5 \\
&b_2 = 2 \\
&\text{Gọi số bi trắng trong hộp 1 và hộp 2 lần lượt là } t_1 \text{ và } t_2 \text{.} \\
&t_1 = n_1 - b_1 \\
&t_1 = 8 - 5 = 3 \\
&t_2 = n_2 - b_2 \\
&t_2 = 7 - 2 = 5 \\
&\text{Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng là tích xác suất lấy bi trắng từ mỗi hộp:} \\
&P = \dfrac{t_1}{n_1} \cdot \dfrac{t_2}{n_2} \\
&P = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} \\
&P = \dfrac{15}{56} \\
&P \approx 0,27 \\
\end{aligned}$