Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
&\text{a) Viết phương trình tổng quát của đường phân giác } AI \\
&\text{Tính tọa độ và độ dài các cạnh } AB \text{ và } AC\text{:} \\
&\overrightarrow{AB} = (-2 - 1; 1 - 4) = (-3; -3) \\
&AB = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \\
&\overrightarrow{AC} = (2 - 1; -5 - 4) = (1; -9) \\
&AC = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{82} \\
&\text{Đường phân giác trong của góc } A \text{ có vectơ chỉ phương cùng hướng với tổng hai vectơ đơn vị của } \overrightarrow{AB} \text{ và } \overrightarrow{AC}\text{.} \\
&\text{Gọi } \overrightarrow{u} \text{ là vectơ chỉ phương của đường phân giác } AI\text{:} \\
&\overrightarrow{u} = \dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB} + \dfrac{\overrightarrow{AC}}{AC} \\
&\overrightarrow{u} = \left( \dfrac{-3}{3\sqrt{2}}; \dfrac{-3}{3\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{82}}; \dfrac{-9}{\sqrt{82}} \right) \\
&\overrightarrow{u} = \left( \dfrac{-1}{\sqrt{2}}; \dfrac{-1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \dfrac{1}{\sqrt{82}}; \dfrac{-9}{\sqrt{82}} \right) \\
&\overrightarrow{u} = \left( \dfrac{-\sqrt{41} + 1}{\sqrt{82}}; \dfrac{-\sqrt{41} - 9}{\sqrt{82}} \right) \\
&\text{Chọn vectơ chỉ phương } \overrightarrow{u_1} = (1 - \sqrt{41}; -9 - \sqrt{41}) \\
&\text{Vectơ pháp tuyến của đường phân giác } AI \text{ là } \overrightarrow{n} = (9 + \sqrt{41}; 1 - \sqrt{41}) \\
&\text{Phương trình tổng quát của đường phân giác } AI \text{ đi qua } A(1; 4)\text{:} \\
&(9 + \sqrt{41})(x - 1) + (1 - \sqrt{41})(y - 4) = 0 \\
&(9 + \sqrt{41})x - 9 - \sqrt{41} + (1 - \sqrt{41})y - 4 + 4\sqrt{41} = 0 \\
&(9 + \sqrt{41})x + (1 - \sqrt{41})y + 3\sqrt{41} - 13 = 0 \\
\\
&\text{b, c) Viết phương trình tổng quát của đường trung bình } MN \\
&\text{Gọi } M, N \text{ lần lượt là trung điểm của hai cạnh } AB \text{ và } AC\text{.} \\
&\text{Tọa độ trung điểm } M \text{ của } AB\text{:} \\
&x_M = \dfrac{1 + (-2)}{2} = -\dfrac{1}{2} \\
&y_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2} \\
&M \left( -\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2} \right) \\
&\text{Đường trung bình } MN \text{ song song với cạnh } BC\text{.} \\
&\overrightarrow{BC} = (2 - (-2); -5 - 1) = (4; -6) \\
&\text{Đường thẳng } MN \text{ nhận } \overrightarrow{BC} \text{ làm một vectơ chỉ phương.} \\
&\text{Chọn vectơ chỉ phương rút gọn là } (2; -3)\text{.} \\
&\text{Vectơ pháp tuyến của đường thẳng } MN \text{ là } \overrightarrow{n_{MN}} = (3; 2)\text{.} \\
&\text{Phương trình tổng quát của đường trung bình } MN \text{ đi qua } M \left( -\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2} \right)\text{:} \\
&3 \left( x - \left(-\dfrac{1}{2}\right) \right) + 2 \left( y - \dfrac{5}{2} \right) = 0 \\
&3 \left( x + \dfrac{1}{2} \right) + 2 \left( y - \dfrac{5}{2} \right) = 0 \\
&3x + \dfrac{3}{2} + 2y - 5 = 0 \\
&3x + 2y - \dfrac{7}{2} = 0 \\
&6x + 4y - 7 = 0 \\
\end{aligned}$