Đáp án:

a) Ta có $\widehat{AEB}=90^\circ=\widehat{AFC}$

Và có chung góc tại đỉnh $A$

$\Rightarrow\Delta AEB\backsim\Delta AFC$ (góc-góc).

b) $\widehat{BDH}=90^\circ=\widehat{BEC}$ 

Và có chung góc tại đỉnh $B$

$\Rightarrow\Delta BDH\backsim\Delta BEC$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{BD}{BH}=\dfrac{BE}{BC}\Rightarrow BH.BE=BD.DC$.

c) Ta có $\widehat{BFH}=90^\circ=\widehat{CEH}$

Và $\widehat{BHF}=\widehat{CHE}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\Delta BHF\backsim\Delta CHE$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HF}{HE}\Rightarrow HE.HB=HF.HC$.

Lại có $\widehat{AEH}=90^\circ=\widehat{BFH}$

Và $\widehat{AHE}=\widehat{BHF}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\Delta AHE\backsim\Delta BHF$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{HA}{HE}=\dfrac{HB}{HD}\Rightarrow HA.HD=HE.HB$

$\Rightarrow HA.HD=HE.HB=HF.HC$.

d) $\widehat{BFC}=90^\circ$

$\Rightarrow F$ thuộc đường tròn đường kính $BC$

$\widehat{BEC}=90^\circ$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\Rightarrow\widehat{EFB}+\widehat{ACB}=180^\circ$

Mà $\widehat{EFB}+\widehat{AFE}=180^\circ$ (kề bù)

$\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ cộng với có chung góc tại đỉnh $A$

$\Rightarrow\Delta AEF\backsim\Delta ABC$ (góc-góc).

e) $\widehat{AEB}=90^\circ$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $AB$

$\widehat{ADB}=90^\circ$

$\Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow\widehat{AED}+\widehat{ABC}=180^\circ$

Mà $\widehat{AED}+\widehat{DEC}=180^\circ$ (kề bù)

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$