Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) `M` là trung điểm `AB ⇒ MA =MB = 1/2 AB`

     `N` là trung điểm `AC ⇒ NA = NC = 1/2 AC `

Mà `AC = AC` ( gt) `⇒ MA= MB = NA = NC`

Xét `ΔAKM` vuông tại `K` và `ΔCHN` vuông tạ `H` có 

`MA = NC ( cmt)`

`\hat{MAK} = \hat{NCH}` (cùng phụ `\hat{AMC}`)

`⇒ ΔAKM = ΔCHN` ( cạnh huyền - góc nhọn)

`⇒ AK = HC (1)` ( 2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔAQN` vuông tại `Q` và `ΔCHN` vuông tại `H` có

`NA = NC` (gt)

`\hat{ANQ} = \hat{CNH}` ( đối đỉnh)

`⇒ ΔAQN = ΔCHN` ( cạnh huyền - góc nhọn)

`⇒ AQ = HC (2)` ( 2 cạnh tương ứng)

Từ `(1)` và `(2) ⇒ AK = HC = AQ ( đpcm)`

Mai làm nốt nhé! buồn ngủ quá! 

Tinh số đo góc:

Xét `ΔAKH` vuông tại `K` và `ΔAQH` vuông tại `Q` có

`AK = AQ ( cmt)`

`AH` cạnh huyền chung

`⇒ ΔAKH = ΔAQH` ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`⇒ \hat{AHK} = \hat{AHQ}` ( 2 góc tương ứng)

mà `\hat(AHK} + \hat{AHQ} = 90^0`

`⇒ \hat{AHK} = \hat{AHQ} = 90^0/2 = 45^0`

`⇒ \hat{AHK} = \hat{HAC} + \hat{HCA} = 45^0` ( góc ngoài `ΔAHC`)

Xét `ΔAHC` và `ΔBKA` có

`AB = AC` (gt); `\hat{MAK} = \hat{HCN} (cmt); AK =CK(cmt)`

`⇒ ΔAHC = ΔBKA ( c.g.c) `

`⇒ \hat{ABK} = \hat{ACH}` (2 góc tương ứng)

Và `\hat{BAK} = \hat{CAH}` ( 2 góc tương ứng)

`⇒ \hat{BAK} +\hat{ABK} = \hat{HAC} + \hat{HCA} = 45^0`

`⇒ \hat{AKB} = 180^0 - 45^0 = 135^0` ( tổng 3 góc trong `Δ`)

2) `\hat{AKB} + \hat{AKH} + \hat{HKB} = 360^0`

`⇒ \hat{HKB} = 360^0 - 135^0 - 90^0 = 135^0`

Xét `ΔAKH` vuông tại `K, \hat{AHK} = 45^0 (cmt)`

`⇒ ΔAKH` vuông cân tại `K ⇒ AK = KH`

Xét `ΔAKB` và `ΔHKB` có

`AK = KH (cmt); \hat{HKB} =\hat{AKB} = 135^0; KB` chung

`⇒ ΔAKB = ΔAKB ( c.g.c) ⇒ BA =BH` ( 2 cạnh tương ứng)

`⇒ ΔABH` cân tại `B`

`⇒ \hat{BHK} = \hat{BAK} = \hat{ACH}`( 2 góc tương ứng)

`EH ⊥ AH` (gt); `AC ⊥AB` (gt) `⇒ AH`// `AC`

`⇒\hat{EHM} = \hat{ACH}` ( so le trong)

`⇒ \hat{EHM} = \hat{BHK} ⇒ HM` là tia phân giác `\hat{BHE}`