Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Định } m \text{ để phương trình } (m-1)x^2 + 2(m-1)x - m = 0 \text{ có nghiệm kép và tính nghiệm kép} \\
& \text{Điều kiện để phương trình có nghiệm kép là } a \neq 0 \text{ và } \Delta' = 0 \\
& m - 1 \neq 0 \\
& m \neq 1 \\
& \Delta' = (m-1)^2 - (m-1)(-m) \\
& \Delta' = m^2 - 2m + 1 + m^2 - m \\
& \Delta' = 2m^2 - 3m + 1 \\
& 2m^2 - 3m + 1 = 0 \\
& (m-1)(2m-1) = 0 \\
& \left[ \begin{array}{l} m - 1 = 0 \\ 2m - 1 = 0 \end{array} \right. \\
& \left[ \begin{array}{l} m = 1 \text{ (loại)} \\ m = \dfrac{1}{2} \text{ (thỏa mãn)} \end{array} \right. \\
& \text{Gọi } x_0 \text{ là nghiệm kép của phương trình} \\
& x_0 = \dfrac{-(m-1)}{m-1} \\
& x_0 = -1 \\
& \text{Kết quả: } m = \dfrac{1}{2} \text{ thì phương trình có nghiệm kép } x_0 = -1
\end{aligned}$

 $\begin{aligned}
& \text{b) Định } m \text{ để phương trình có 2 nghiệm đều âm, đều dương, trái dấu} \\
& \text{Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là } a \neq 0 \text{ và } \Delta' \ge 0 \\
& m \neq 1 \\
& 2m^2 - 3m + 1 \ge 0 \\
& \left[ \begin{array}{l} m > 1 \\ m \le \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \\
& \text{Gọi } x_1, x_2 \text{ là 2 nghiệm của phương trình, } S \text{ là tổng 2 nghiệm, } P \text{ là tích 2 nghiệm} \\
& S = x_1 + x_2 = \dfrac{-2(m-1)}{m-1} = -2 \\
& P = x_1 x_2 = \dfrac{-m}{m-1} \\
& \text{Điều kiện phương trình có 2 nghiệm đều âm: } \Delta' \ge 0, P > 0, S < 0 \\
& \left[ \begin{array}{l} m > 1 \\ m \le \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \\
& \dfrac{-m}{m-1} > 0 \\
& \dfrac{m}{m-1} < 0 \\
& 0 < m < 1 \\
& S = -2 < 0 \text{ (luôn đúng)} \\
& 0 < m \le \dfrac{1}{2} \\
& \text{Kết quả: } 0 < m \le \dfrac{1}{2} \text{ thì phương trình có 2 nghiệm đều âm} \\
& \text{Điều kiện phương trình có 2 nghiệm đều dương: } \Delta' \ge 0, P > 0, S > 0 \\
& S = -2 > 0 \text{ (vô lý)} \\
& \text{Kết quả: Không có giá trị nào của } m \text{ để phương trình có 2 nghiệm đều dương} \\
& \text{Điều kiện phương trình có 2 nghiệm trái dấu: } P < 0 \\
& \dfrac{-m}{m-1} < 0 \\
& \dfrac{m}{m-1} > 0 \\
& \left[ \begin{array}{l} m > 1 \\ m < 0 \end{array} \right. \\
& \text{Kết quả: } m > 1 \text{ hoặc } m < 0 \text{ thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu}
\end{aligned}$