Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

$x^2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0$

Phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 1, b = -2(m - 1)$ và $c = m - 3$

$\Delta = b^2 - 4ac = \left[-2(m - 1)\right]^2 - 4(m - 3)$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4\left(m^2 - 2m + 1\right) - 4(m - 3)$ 

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4m^2 - 8m + 4 - 4m + 12$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4m^2 -  12m + 16 = (2m - 3)^2 + 7 > 0, \forall m$

Suy ra phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$

$\textbf{b}\bigg)$

Theo hệ thức Viète, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{2(m - 1)}{1} = 2(m -1 ) \\ x_1x_2 = \dfrac{m - 3}{1} = m - 3 \end {cases}$

Suy ra $x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 2(m - 1) - 2(m - 3) = 2m - 2 - 2m + 6 = 4$

Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$ là $x_1 + x_2 - 2x_1x_2 = 4$

$\textbf{c}\bigg)$

Phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ với mọi $m$

Để $|x_1| = |x_2|$ và $x_1$ trái dấu với $x_2$ thì suy ra $x_1 = -x_2$

$x_1 + x_2 = 0$

$2(m - 1) = 0$

$m - 1 =0 $

$m = 1$

Vậy $m = 1$ thoả mãn đề bài