Giúp em giải bài 4 em cần gấp ạ em cảm ơn

Đáp án:

a) $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow\widehat{ABO}=90^\circ$

$\Rightarrow B$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

$AC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow\widehat{ACO}=90^\circ$

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn đường kính $AO$

$\Rightarrow ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

b) $AB=AC$ (tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow A$ thuộc trung trực của $BC$

$OB=OC=R$

$\Rightarrow O$ thuộc trung trực của $BC$

$\Rightarrow AO$ là trung trực của $BC\Rightarrow AO\,\bot\,BC$

$ABOC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{BCO}$ (cùng chắn cung $BO$).

$BDCE$ nội tiếp đường tròn $(O)$

$\Rightarrow \widehat{BCO}=\widehat{BED}$ (cùng chắn cung $BD$)

$\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{BED}$.

Ta có $\widehat{CDE}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow\widehat{AEC}=90^\circ$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

$\widehat{AHC}=90^\circ$ ($AO\,\bot\,BC$)

$\Rightarrow H$ thuộc đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow ACHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{CAO}$ (cùng chắn cung $HC$).

Và $\widehat{CAO}=90^\circ-\widehat{ACB}=\widehat{BCO}$

$\Rightarrow\widehat{BED}=\widehat{BCO}=\widehat{CAO}=\widehat{HEC}$

$\Rightarrow\widehat{BED}+\widehat{HED}=\widehat{HEC}+\widehat{HED}$

$\Rightarrow\widehat{BEH}=\widehat{CED}=90^\circ$

$\Rightarrow BE\,\bot\,HE$.

c) Có $\widehat{DBC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow BD\,\bot\,BC$ mà $AO\,\bot\,BC$

$\Rightarrow BD//AO\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{EAF}$ (1).

Vẽ đường kính $BK$ của $(O)$.

$\widehat{ABE}+\widehat{EBK}=90^\circ$ ($AB\,\bot\,BK$)

$\widehat{BKE}+\widehat{EBK}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{BKE}$

Tứ giác $BDKE$ nội tiếp đường tròn $(O)$

$\Rightarrow\widehat{BKE}=\widehat{ADB}$ (cùng chắn cung $BE$) 

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{EAF}=\widehat{ABE}$

Cộng với có chung góc tại đỉnh $F$

$\Rightarrow\Delta AEF\backsim\Delta BAF$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AF}{EF}=\dfrac{BF}{AF}\Rightarrow AF^2=BF.EF$

$\Delta BHF$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$

Hệ thức lượng: $HF^2=BF.EF$

$\Rightarrow AF^2=HF^2\Rightarrow AF=HF$.

Có $\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$ cộng với có chung góc tại đỉnh $A$

$\Rightarrow\Delta ABE\backsim\Delta ADB$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE$ 

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$

$\Rightarrow AB^2=AO.AH$ (Hệ thức lượng)

$\Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AE}{AO}$

$\Rightarrow\dfrac{AH.AE}{AD}=\dfrac{AE.AE}{AO}=\dfrac{AE^2}{AO}$

$\dfrac{AF^2-EF^2}{OH}=\dfrac{HF^2-EF^2}{OH}=\dfrac{HE^2}{OH}$

Lại có $OE^2=OB^2=OH.AO$

$\Rightarrow\dfrac{OA}{OE}=\dfrac{OE}{OH}$ cộng với có chung góc tại đỉnh $O$

$\Rightarrow\Delta OHE\backsim\Delta OEA$ (cạnh-góc-cạnh)

$\Rightarrow\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{HE}{OE}\Rightarrow \dfrac{AE^2}{AO}=\dfrac{AE.HE}{OE}$

Để đẳng thức đúng $\Rightarrow\dfrac{HE^2}{OH}=\dfrac{AE.HE}{OE}$

$\Rightarrow\dfrac{HE}{OH}=\dfrac{AE}{OE}$ (đúng vì $\Delta OHE\backsim\Delta OEA$)