Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Xét } (O) \text{, ta có: } \\
& AB \perp MN \text{ tại } O \ (gt) \text{ nên } \widehat{MOB} = 90^\circ \\
& \text{Do đó: } \Delta MOB \text{ vuông tại } O\text{, cạnh huyền } MB \\
& \Rightarrow \Delta MOB \text{ nội tiếp đường tròn đường kính } MB \\
& \Rightarrow M, O, B \text{ cùng thuộc đường tròn đường kính } MB \ (1) \\
& \text{Ta có: } MH \perp BC \text{ tại } H \ (gt) \text{ nên } \widehat{BHM} = 90^\circ \\
& \text{Do đó: } \Delta MHB \text{ vuông tại } H\text{, cạnh huyền } MB \\
& \Rightarrow \Delta MHB \text{ nội tiếp đường tròn đường kính } MB \\
& \Rightarrow M, H, B \text{ cùng thuộc đường tròn đường kính } MB \ (2) \\
& \text{Từ } (1), (2) \text{ suy ra: Bốn điểm } B, O, M, H \text{ cùng thuộc đường tròn đường kính } MB \\
& \text{Vậy tứ giác } BOMH \text{ nội tiếp} \\
\\
& \text{b.Ta có: } OM = OB = R \text{ nên } \text{sđ}\overparen{OB} = \text{sđ}\overparen{OM} \\
& \text{Xét đường tròn đường kính } MB \text{, ta có: } \\
& \widehat{MHO} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overparen{OM} \text{ (góc nội tiếp chắn cung } MO \text{)} \\
& \widehat{BHO} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overparen{OB} \text{ (góc nội tiếp chắn cung } BO \text{)} \\
& \text{Suy ra: } \widehat{MHO} = \widehat{BHO} \\
& \text{Mà: } E \in MB; E \in OH \ (MB \text{ cắt } OH \text{ tại } E) \text{ nên } \widehat{MHE} = \widehat{BHE} \\
& \Rightarrow HE \text{ là tia phân giác } \widehat{MHB} \\
& \Rightarrow HE \text{ là đường phân giác } \Delta MHB \\
& \text{Xét } \Delta MHB \text{, ta có: } HE \text{ là đường phân giác (cmt)} \\
& \Rightarrow \frac{ME}{EB} = \frac{MH}{HB} \text{ (tính chất đường phân giác trong tam giác)} \\
\\
& \text{Xét } (O) \text{, ta có: } \\
& \widehat{AMB} = 90^\circ \text{ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên } AM \perp MB \\
& \text{Mà: } C \in MA \text{ (Trên tia đối của } MA \text{ lấy điểm } C \text{) nên } MB \perp AC \text{ nên } \widehat{BMC} = 90^\circ \\
& \text{Xét } \Delta BMC \text{ và } \Delta BHM \text{, ta có: } \\
& \left. \begin{array}{l} \widehat{BMC} = \widehat{BHM} = 90^\circ \text{ (cmt)} \\ \widehat{MBC} \text{ chung} \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta BMC \backsim \Delta BHM \ (g-g) \\
& \text{Do vậy: } \frac{MB}{HB} = \frac{CM}{HM} \text{ (tỉ số tương ứng)} \\
& \Rightarrow \frac{MH}{HB} = \frac{CM}{MB} \\
& \text{Mà: } \frac{ME}{EB} = \frac{MH}{HB} \text{ (cmt) nên } \frac{ME}{EB} = \frac{CM}{MB} \ (3) \\
& \text{Xét } (O) \text{, ta có: } \\
& \cdot \ AB \perp MN \text{ tại } O \ (gt) \text{ nên } \widehat{NOB} = 90^\circ \\
& \cdot \ \widehat{MOB} = 90^\circ = \text{sđ}\overparen{MB} \text{ (góc ở tâm chắn cung } MB \text{)} \\
& \cdot \ \widehat{NOB} = 90^\circ = \text{sđ}\overparen{NB} \text{ (góc ở tâm chắn cung } NB \text{)} \\
& \Rightarrow \text{sđ}\overparen{MB} = \text{sđ}\overparen{NB} \\
& \cdot \ \widehat{MNB} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overparen{MB} \text{ (góc nội tiếp chắn cung } MB \text{)} \\
& \cdot \ \widehat{NMB} = \frac{1}{2} \text{sđ}\overparen{NB} \text{ (góc nội tiếp chắn cung } NB \text{)} \\
& \Rightarrow \widehat{MNB} = \widehat{NMB} \text{ nên } \Delta MNB \text{ cân tại } B \\
& \text{Do đó: } MB = BN \ (4) \\
& \text{Từ } (3), (4) \text{ suy ra: } \frac{ME}{EB} = \frac{CM}{BN} \\
& \text{Ta có: } \widehat{BMC} = 90^\circ \text{ (cmt), mà } E \in MB \text{ (cmt) nên } \widehat{EMC} = 90^\circ \\
& \text{Xét } (O) \text{, ta có: } \\
& \widehat{MBN} = 90^\circ \text{ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)} \\
& \text{Mà: } E \in MB \text{ (cmt) nên } \widehat{EBN} = 90^\circ \\
& \text{Xét } \Delta EMC \text{ và } \Delta EBN \text{, ta có: } \\
& \left. \begin{array}{l} \widehat{EMC} = \widehat{EBN} = 90^\circ \text{ (cmt)} \\ \frac{ME}{EB} = \frac{CM}{BN} \text{ (cmt)} \end{array} \right\} \Rightarrow \Delta EMC \backsim \Delta EBN \ (c-g-c) \\
& \text{Suy ra: } \widehat{MEC} = \widehat{BEN} \text{ (2 góc tương ứng)} \\
& \text{Ta có: } E \in MB \text{ (cmt) nên } \widehat{MEC} + \widehat{CEB} = 180^\circ \text{ (2 góc kề bù)} \\
& \Rightarrow \widehat{BEN} + \widehat{CEB} = 180^\circ \text{, mà } \widehat{BEN} + \widehat{CEB} = \widehat{CEN} \\
& \Rightarrow \widehat{CEN} = 180^\circ \text{ nên } C, E, N \text{ thẳng hàng}\\

&\text{Mà }\widehat{CKM}=90^o,\widehat{MKN}=90^o\to CK\perp MK, MK\perp KN\\

&\Rightarrow C, K, N\text{ thẳng hàng}\\

&\Rightarrow C,K, E \text{ thẳng hàng}\\

\end{aligned}$