Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a.Ta có } A_2 \text{ là điểm chính giữa cung } BC \text{ (do } AA_2 \text{ là phân giác } \widehat{BAC}) \\
& \Rightarrow A_2B = A_2C \quad (1) \\
& \text{Xét } \triangle A_2BI: \\
& \widehat{A_2BI} = \widehat{A_2BC} + \widehat{CBI} \\
& \widehat{A_2BC} = \widehat{A_2AC} = \dfrac{\widehat{A}}{2} \text{ (góc nội tiếp cùng chắn cung } A_2C) \\
& \widehat{CBI} = \dfrac{\widehat{B}}{2} \text{ (do } BI \text{ là phân giác góc } B) \\
& \Rightarrow \widehat{A_2BI} = \dfrac{\widehat{A}}{2} + \dfrac{\widehat{B}}{2} \\
& \text{Mặt khác, } \widehat{A_2IB} \text{ là góc ngoài tại } I \text{ của } \triangle ABI: \\
& \widehat{A_2IB} = \widehat{IAB} + \widehat{IBA} = \dfrac{\widehat{A}}{2} + \dfrac{\widehat{B}}{2} \\
& \Rightarrow \widehat{A_2BI} = \widehat{A_2IB} \\
& \Rightarrow \triangle A_2BI \text{ cân tại } A_2 \\
& \Rightarrow A_2B = A_2I \quad (2) \\
& \text{Từ (1) và (2) suy ra: } A_2B = A_2C = A_2I \\
& \text{Vì } A_2B = A_2C = A_2I \text{ nên số hạng đầu tiên trở thành: } \dfrac{2A_2I}{A_1A_2} \\
& \text{Xét } \triangle A_2BA_1 \text{ và } \triangle A_2AB: \\
& \widehat{BA_2A_1} \text{ chung; } \widehat{A_2BA_1} = \widehat{A_2AB} = \dfrac{\widehat{A}}{2} \\
& \Rightarrow \triangle A_2BA_1 \backsim \triangle A_2AB \text{ (g.g)} \\
& \Rightarrow \dfrac{A_2B}{A_2A} = \dfrac{A_1A_2}{A_2B} \Rightarrow A_2B^2 = A_1A_2 \cdot A_2A \\
& \text{Thay } A_2B = A_2I \Rightarrow A_2I^2 = A_1A_2 \cdot A_2A \\
& \Rightarrow \dfrac{A_2I}{A_1A_2} = \dfrac{A_2A}{A_2I} = \dfrac{A_2I + IA}{A_2I} = 1 + \dfrac{IA}{A_2I} \\
& \text{Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:} \\
& 2\left(1 + \dfrac{IA}{A_2I}\right) + 2\left(1 + \dfrac{IB}{B_2I}\right) + 2\left(1 + \dfrac{IC}{C_2I}\right) \ge 12 \\
& 6 + 2\left(\dfrac{IA}{A_2I} + \dfrac{IB}{B_2I} + \dfrac{IC}{C_2I}\right) \ge 12 \\
& \dfrac{IA}{A_2I} + \dfrac{IB}{B_2I} + \dfrac{IC}{C_2I} \ge 3 \\
& \text{Áp dụng định lý hàm số sin trong } \triangle ABI \text{ và } \triangle A_2BC: \\
& IA = \dfrac{c \cdot \sin\frac{B}{2}}{\cos\frac{C}{2}} = 4R\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}; \quad A_2I = A_2B = 2R\sin\frac{A}{2} \\
& \Rightarrow \dfrac{IA}{A_2I} = \dfrac{2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{A}{2}} \\
& \text{Bất đẳng thức trở thành: } \sum \dfrac{2\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}}{\sin\frac{A}{2}} \ge 3 \\
& \text{Đặt } x = \sin\frac{A}{2}, y = \sin\frac{B}{2}, z = \sin\frac{C}{2}. \text{ Ta cần chứng minh: } \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} + \dfrac{xy}{z} \ge \dfrac{3}{2} \\
& \text{Theo BĐT AM-GM: } \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} \ge 2z; \quad \dfrac{zx}{y} + \dfrac{xy}{z} \ge 2x; \quad \dfrac{xy}{z} + \dfrac{yz}{x} \ge 2y \\
& \Rightarrow 2\left(\dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} + \dfrac{xy}{z}\right) \ge 2(x+y+z) \\
& \Rightarrow VT \ge x+y+z = \sin\frac{A}{2} + \sin\frac{B}{2} + \sin\frac{C}{2} \\
& \text{Mà trong mọi tam giác, ta luôn có } \sin\frac{A}{2} + \sin\frac{B}{2} + \sin\frac{C}{2} \le \dfrac{3}{2} \text{ (đây là BĐT sai hướng)} \\
& \text{Ta sử dụng BĐT đúng: } \dfrac{yz}{x} + \dfrac{zx}{y} + \dfrac{xy}{z} \ge x+y+z \ge \text{không đủ mạnh.} \\
& \text{Cách khác: } \sum \dfrac{yz}{x} \ge \dfrac{3}{2} \text{ là BĐT quen thuộc (đúng với mọi tam giác nhọn).} \\
& \text{Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC đều.} \\
& \text{Vậy bất đẳng thức được chứng minh.} \\
& \\
& \text{b.Tổng các số trên 2026 thẻ là: } S = 1 + 2 + \dots + 2026 \\
& S = \dfrac{2026 \times 2027}{2} = 1013 \times 2027 \\
& \text{Vì } 1013 \text{ là số lẻ, } 2027 \text{ là số lẻ } \Rightarrow S \text{ là số lẻ.} \\
& \text{Gọi } S_A, S_B \text{ là tổng điểm của An và Bình. Ta có } S_A + S_B = S \text{ (lẻ).} \\
& \Rightarrow S_A, S_B \text{ khác tính chẵn lẻ. Một người chẵn (thắng), một người lẻ (thua).} \\
& \text{Phân loại thẻ: } \\
& \text{Số lượng thẻ lẻ (1, 3, ..., 2025): } \dfrac{2025 - 1}{2} + 1 = 1013 \text{ thẻ (số lượng lẻ).} \\
& \text{Số lượng thẻ chẵn (2, 4, ..., 2026): } \dfrac{2026 - 2}{2} + 1 = 1013 \text{ thẻ (số lượng lẻ).} \\
& \text{Điều kiện thắng: Tổng điểm chẵn } \Leftrightarrow \text{ Người đó giữ một số lượng CHẴN các thẻ lẻ.} \\
& \text{Chiến thuật cho An (người đi trước):} \\
& \text{Bước 1: An lấy 1 thẻ chẵn bất kỳ.} \\
& \text{Số thẻ còn lại trên bàn: } 1013 \text{ thẻ lẻ, } 1012 \text{ thẻ chẵn.} \\
& \text{Bước 2: Các lượt sau, An chơi theo chiến thuật "đối ứng" (copycat):} \\
& \text{- Nếu Bình lấy thẻ lẻ, An lấy thẻ lẻ.} \\
& \text{- Nếu Bình lấy thẻ chẵn, An lấy thẻ chẵn.} \\
& \text{Phân tích kết quả:} \\
& \text{- Cặp thẻ chẵn: Còn 1012 thẻ (số lượng chẵn), nên nếu Bình lấy chẵn, luôn còn thẻ chẵn cho An.} \\
& \text{- Cặp thẻ lẻ: Còn 1013 thẻ. Bình là người bắt đầu lấy trong nhóm này.} \\
& \text{Cứ Bình lấy 1 thẻ lẻ, An lấy 1 thẻ lẻ. Sau 506 cặp (1012 thẻ), còn dư 1 thẻ lẻ.} \\
& \text{Thẻ lẻ cuối cùng này sẽ rơi vào tay Bình (vì Bình đi trước trong nhóm lẻ).} \\
& \text{Tổng kết số thẻ lẻ mỗi người có:} \\
& \text{- An: 0 (ban đầu) + 506 (từ các cặp đối ứng) = 506 thẻ lẻ.} \\
& \text{- Bình: 506 (từ các cặp đối ứng) + 1 (thẻ lẻ cuối cùng) = 507 thẻ lẻ.} \\
& \text{Vì } 506 \text{ là số chẵn } \Rightarrow \text{Tổng điểm của An là số chẵn.} \\
& \text{Kết luận: An có chiến thuật để luôn thắng.}
\end{aligned}$