Đáp án:

a) $AM=CM$ (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của $AC$.

$OA=OC=R$

$\Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của $AC$

$\Rightarrow OM$ là đường trung trực của $AC$

Ta có $\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AC\,\bot\,BC$ mà $\Rightarrow OM\,\bot\, AC$

$\Rightarrow OM//BC$. Thales ta có:

$\dfrac{OH}{BC}=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac12\Rightarrow BC=2OH$.

b) $\widehat{OAD}=90^\circ$ (tiếp tuyến)

$\Rightarrow A$ thuộc đường tròn đường kính $OD$.

$\widehat{OID}=90^\circ$ ($OI\,\bot\,ID$)

$\Rightarrow I$ thuộc đường tròn đường kính $OD$

$\Rightarrow AIOD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

$\Rightarrow\widehat{IDO}=\widehat{OAH}$ (cùng chắn cung $OI$).

Ta có $\widehat{OAH}=\widehat{OCH}$ ($\Delta AOC$ cân tại $O$)

Và $\widehat{HMN}=90^\circ-\widehat{MOC}=\widehat{OCH}$

$\Rightarrow\widehat{IDO}=\widehat{OAH}=\widehat{HMN}$

Ta có $\widehat{OAH}=\widehat{HMN}=\widehat{OMC}$

Và $\widehat{AHO}=\widehat{MCO}=90^\circ$

$\Delta AHO\backsim\Delta MCO$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{MC}{MO}$ (1).

Lại có $\widehat{OIN}=90^\circ$ ($OI\,\bot\,IN$)

$\Rightarrow I$ thuộc đường tròn đường kính $ON$).

Và $\widehat{NCO}=90^\circ$ (tiếp tuyến)

$\Rightarrow C$ thuộc đường tròn đường kính $ON$

$\Rightarrow NIOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $ON$

$\Rightarrow \widehat{OIC}=\widehat{ONC}$ (cùng chắn cung $OC$)

$\Rightarrow180^\circ-\widehat{OIC}=180^\circ-\widehat{ONC}$

$\Rightarrow\widehat{AIO}=\widehat{MNO}$ mà $\widehat{OAH}=\widehat{OMC}$

$\Rightarrow\Delta AOI\backsim\Delta MON$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{MN}{MO}\Rightarrow\dfrac{2AI}{AO}=\dfrac{2MN}{MO}$

$\Rightarrow\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{2MN}{MO}$ (2)

(1) và (2) $\Rightarrow\dfrac{MC}{MO}=\dfrac{2MN}{MO}$

$\Rightarrow MC=2MN\Rightarrow N$ là trung điểm $MC$.

$\Rightarrow HN$ là đường trung tuyến trong $\Delta HMC$

Mà $\Delta HMC$ vuông tại $H\Rightarrow HN=MN=CN$

$\Rightarrow N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MHC$.