Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle CBE$ và $\triangle CAD$ có:

$\begin{cases} \widehat{C} \text{ chung} \\ \widehat{CEB} = \widehat{CDA} = 90^\circ \end{cases}$

$\Rightarrow \triangle CBE \sim \triangle CAD \text{ (g.g)}$

$\Rightarrow \dfrac{CE}{CD} = \dfrac{CB}{CA} \Rightarrow \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA}$

Xét $\triangle CED$ và $\triangle CBA$ có:

$\begin{cases} \widehat{C} \text{ chung} \\ \dfrac{CE}{CB} = \dfrac{CD}{CA} \text{ (cmt)} \end{cases}$

$\Rightarrow \triangle CED \sim \triangle CBA \text{ (c.g.c)}$

$\Rightarrow \widehat{CED} = \widehat{CBA}$$

Mà $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (câu b) nên $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$

$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{CED}$

Ta có $BE \perp AC$ 

$\begin{cases} \widehat{FEB} = 90^\circ - \widehat{AEF} \\ \widehat{DEB} = 90^\circ - \widehat{CED} \end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{FEB} = \widehat{DEB}$

Vậy $BE$ là tia phân giác của $\widehat{FED}$ (1)

Xét $\triangle ABD$ và $\triangle ACF$ có:

$\begin{cases} \widehat{A} \text{ chung} \\ \widehat{ADB} = \widehat{AFC} = 90^\circ \end{cases}$

$\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle ACF \text{ (g.g)}$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AF} \Rightarrow \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$$

Xét $\triangle BDF$ và $\triangle BAC$ có:

$\begin{cases} \widehat{B} \text{ chung} \\ \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BF}{BC} \text{ (do } \triangle BDA \sim \triangle BFC) \end{cases}$

$\Rightarrow \triangle BDF \sim \triangle BAC \text{ (c.g.c)}$

$\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{BAC}$

Từ $\triangle CED \sim \triangle CBA$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{CDE}$

Ta có $AD \perp BC$

$\begin{cases} \widehat{HDF} = 90^\circ - \widehat{BDF} \\ \widehat{HDE} = 90^\circ - \widehat{CDE} \end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{HDF} = \widehat{HDE}$

Vậy $AD$ là tia phân giác của $\widehat{EDF}$ (2)

Xét $\triangle BCF$ và $\triangle BAE$ có:

$\begin{cases} \widehat{B} \text{ chung} \\ \widehat{BFC} = \widehat{BEA} = 90^\circ \end{cases}$

$\Rightarrow \triangle BCF \sim \triangle BAE \text{ (g.g)}$

$\Rightarrow \dfrac{BF}{BA} = \dfrac{BC}{BE} \Rightarrow \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{BA}{BE}$

Ta có : 

$\widehat{BFD} = \widehat{BCA}$ (do $\triangle BDF \sim \triangle BAC$)

$\widehat{AFE} = \widehat{BCA}$ (do $\triangle AFE \sim \triangle ABC$)

$\Rightarrow \widehat{BFD} = \widehat{AFE}$

Vì $CF \perp AB$ : 

$\begin{cases} \widehat{HFD} = 90^\circ - \widehat{BFD} \\ \widehat{HFE} = 90^\circ - \widehat{AFE} \end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{HFD} = \widehat{HFE}$

Vậy $CF$ là tia phân giác của $\widehat{EFD}$ (2)

Từ (1) (2) (3) suy ra $H$ là giao điểm của ba đường phân giác trong của $\triangle DEF$