Đáp án + Giải thích các bước giải:

Kẻ đường kính $MD$ của đường tròn $(O)$

Ta có: $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M (\rm gt)$

$\Rightarrow \widehat{AMD} =90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AMB} + \widehat{BMD} = 90^\circ$

Ta có: $\widehat{MBD}$ là góc chắn nửa đường tròn đường kính $MD$

$\Rightarrow \widehat{MBD} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BDM} + \widehat{BMD} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{BDM}$

Mà $\widehat{BCM} = \widehat{BDM} \big(2$ góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{\; BM}\big)$

$\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{BCM} = \widehat{ACM}$

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ACM$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AMB} =\widehat{ACM} \\ \widehat{MAB}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AMB \backsim \triangle ACM (\rm g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AM} =\dfrac{AM}{AC}$

$\Rightarrow AB \cdot AC = AM^2 (1)$

Ta có:

$\begin {cases} AM = AN (\text{tính chất }2 \text{ tiếp tuyến cắt nhau tại }A \\ OM = ON (= R) \end {cases}$

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $MN$

Mà $AO$ cắt $MN$ tại $H$

$\Rightarrow MH \bot AO$ tại $H$

$\Rightarrow \widehat{AHM} = 90^\circ$

Xét $\triangle AHM$ và $\triangle AMO$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{AHM} = \widehat{AMO} (= 90^\circ) \\ \widehat{HAM}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AHM \backsim \triangle AMO$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AM} = \dfrac{AM}{AO}$

$\Rightarrow AH \cdot AO = AM^2 (2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow AB \cdot AC =AH \cdot AO = AM^2$