Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Điều kiện xác định của phương trình (2):} \\
& \begin{cases} x + 2y + 6 > 0 \\ x + y + 2 > 0 \end{cases} \\
& \\
& \text{Từ phương trình (1), ta biến đổi:} \\
& e^{y^2 - x^2} = \dfrac{x^2 + 1}{y^2 + 1} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{e^{y^2}}{e^{x^2}} = \dfrac{x^2 + 1}{y^2 + 1} \\
& \Leftrightarrow e^{y^2}(y^2 + 1) = e^{x^2}(x^2 + 1) \quad (*) \\
& \\
& \text{Xét hàm số } f(t) = e^t(t + 1) \text{ với } t \ge 0. \\
& \text{Ta có } f'(t) = e^t(t + 1) + e^t = e^t(t + 2) > 0, \forall t \ge 0. \\
& \text{Suy ra hàm số } f(t) \text{ đồng biến trên } [0; +\infty). \\
& \text{Do đó, phương trình } (*) \Leftrightarrow f(y^2) = f(x^2) \\
& \Leftrightarrow y^2 = x^2 \\
& \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y = x \\ y = -x \end{array}\right. \\
& \\
& \text{{Trường hợp 1:} } y = x \\
& \text{Thay vào phương trình (2) ta được:} \\
& 3 \log_3(x + 2x + 6) = 2 \log_2(x + x + 2) + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 \log_3(3x + 6) = 2 \log_2(2x + 2) + 1 \\
& \text{Điều kiện: } \begin{cases} 3x + 6 > 0 \\ 2x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > -1. \\
& \text{Phương trình trở thành:} \\
& 3 [\log_3 3 + \log_3(x + 2)] = 2 [\log_2 2 + \log_2(x + 1)] + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 [1 + \log_3(x + 2)] = 2 [1 + \log_2(x + 1)] + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 + 3 \log_3(x + 2) = 2 + 2 \log_2(x + 1) + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 \log_3(x + 2) = 2 \log_2(x + 1) \\
& \text{Đặt } 3 \log_3(x + 2) = 2 \log_2(x + 1) = 6u. \text{ Ta có:} \\
& \begin{cases} \log_3(x + 2) = 2u \Rightarrow x + 2 = 3^{2u} = 9^u \\ \log_2(x + 1) = 3u \Rightarrow x + 1 = 2^{3u} = 8^u \end{cases} \\
& \text{Trừ vế theo vế hai phương trình trên, ta được:} \\
& (x + 2) - (x + 1) = 9^u - 8^u \\
& \Leftrightarrow 1 = 9^u - 8^u \\
& \Leftrightarrow 9^u = 8^u + 1 \\
& \Leftrightarrow 1 = \left(\dfrac{8}{9}\right)^u + \left(\dfrac{1}{9}\right)^u \quad (**) \\
& \text{Xét hàm số } g(u) = \left(\dfrac{8}{9}\right)^u + \left(\dfrac{1}{9}\right)^u. \\
& \text{Vì } \dfrac{8}{9} < 1 \text{ và } \dfrac{1}{9} < 1 \text{ nên } g(u) \text{ là hàm nghịch biến trên } \mathbb{R}. \\
& \text{Mặt khác, } g(1) = \dfrac{8}{9} + \dfrac{1}{9} = 1. \\
& \text{Do đó, phương trình } (**) \text{ có nghiệm duy nhất } u = 1. \\
& \text{Với } u = 1 \Rightarrow x + 1 = 8^1 \Rightarrow x = 7 \text{ (thỏa mãn điều kiện } x > -1 \text{).} \\
& \text{Vì } y = x \text{ nên } y = 7. \\
& \text{Ta được một nghiệm là } (7; 7). \\
& \\
& \text{{Trường hợp 2:} } y = -x \\
& \text{Thay vào phương trình (2) ta được:} \\
& 3 \log_3(x - 2x + 6) = 2 \log_2(x - x + 2) + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 \log_3(-x + 6) = 2 \log_2 2 + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 \log_3(6 - x) = 2 \cdot 1 + 1 \\
& \Leftrightarrow 3 \log_3(6 - x) = 3 \\
& \Leftrightarrow \log_3(6 - x) = 1 \\
& \Leftrightarrow 6 - x = 3^1 \\
& \Leftrightarrow x = 3. \\
& \text{Vì } y = -x \text{ nên } y = -3. \\
& \text{Thử lại điều kiện:} \\
& x + 2y + 6 = 3 + 2(-3) + 6 = 3 > 0 \text{ (thỏa mãn)} \\
& x + y + 2 = 3 - 3 + 2 = 2 > 0 \text{ (thỏa mãn)} \\
& \text{Ta được nghiệm thứ hai là } (3; -3). \\
\end{aligned}$