Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Đặt } \vec{a} = \vec{AB}, \vec{b} = \vec{AC}, \vec{s} = \vec{AS}. \\
& \text{Theo giả thiết, ta có các tính chất của hệ vectơ cơ sở:} \\
& |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \quad (\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \\
& SA \perp (ABC) \Rightarrow \vec{s} \perp \vec{a}, \vec{s} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{s} \cdot \vec{a} = 0, \vec{s} \cdot \vec{b} = 0 \\
& \text{Đặt } SA = h > 0 \Rightarrow \vec{s}^2 = h^2 \\
& \text{Biểu diễn các vectơ } \vec{AN}, \vec{CM} \text{ theo hệ vectơ cơ sở:} \\
& \text{Ta có } NC = 2NS \Rightarrow SC = 3NS \Rightarrow \vec{SN} = \dfrac{1}{3}\vec{SC} \\
& \vec{AN} = \vec{AS} + \vec{SN} = \vec{s} + \dfrac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AS}) = \vec{s} + \dfrac{1}{3}(\vec{b} - \vec{s}) = \dfrac{2}{3}\vec{s} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \\
& \text{Ta có } SM = 3MB \Rightarrow \vec{SM} = \dfrac{3}{4}\vec{SB} \\
& \vec{AM} = \vec{AS} + \vec{SM} = \vec{s} + \dfrac{3}{4}(\vec{AB} - \vec{AS}) = \vec{s} + \dfrac{3}{4}(\vec{a} - \vec{s}) = \dfrac{1}{4}\vec{s} + \dfrac{3}{4}\vec{a} \\
& \vec{CM} = \vec{AM} - \vec{AC} = \dfrac{1}{4}\vec{s} + \dfrac{3}{4}\vec{a} - \vec{b} \\
& \text{Vì } AN \perp CM \text{ nên tích vô hướng bằng } 0: \\
& \vec{AN} \cdot \vec{CM} = 0 \\
& \left( \dfrac{2}{3}\vec{s} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{4}\vec{s} + \dfrac{3}{4}\vec{a} - \vec{b} \right) = 0 \\
& \dfrac{2}{12}\vec{s}^2 + \dfrac{6}{12}(\vec{s} \cdot \vec{a}) - \dfrac{2}{3}(\vec{s} \cdot \vec{b}) + \dfrac{1}{12}(\vec{b} \cdot \vec{s}) + \dfrac{3}{12}(\vec{b} \cdot \vec{a}) - \dfrac{1}{3}\vec{b}^2 = 0 \\
& \dfrac{1}{6}h^2 + 0 - 0 + 0 + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \cdot 1 = 0 \\
& \dfrac{h^2}{6} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{3} = 0 \\
& \dfrac{h^2}{6} = \dfrac{5}{24} \\
& h^2 = \dfrac{5}{4} \Rightarrow h = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
& \text{Vậy độ dài đoạn thẳng } SA = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \\
& \text{Tính côsin góc giữa } MN \text{ và } AC: \\
& \vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \left( \dfrac{2}{3}\vec{s} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \right) - \left( \dfrac{1}{4}\vec{s} + \dfrac{3}{4}\vec{a} \right) = \dfrac{5}{12}\vec{s} - \dfrac{3}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \\
& \cos(MN, AC) = \dfrac{|\vec{MN} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{MN}| \cdot |\vec{AC}|} = \dfrac{|\vec{MN} \cdot \vec{b}|}{MN \cdot 1} \\
& \text{Xét tử số:} \\
& \vec{MN} \cdot \vec{b} = \left( \dfrac{5}{12}\vec{s} - \dfrac{3}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \right) \cdot \vec{b} \\
& \vec{MN} \cdot \vec{b} = 0 - \dfrac{3}{4}(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \dfrac{1}{3}\vec{b}^2 \\
& \vec{MN} \cdot \vec{b} = -\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{3} = -\dfrac{1}{24} \\
& \Rightarrow |\vec{MN} \cdot \vec{b}| = \dfrac{1}{24} \\
& \text{Xét mẫu số (bình phương độ dài MN):} \\
& MN^2 = \vec{MN}^2 = \left( \dfrac{5}{12}\vec{s} - \dfrac{3}{4}\vec{a} + \dfrac{1}{3}\vec{b} \right)^2 \\
& MN^2 = \dfrac{25}{144}\vec{s}^2 + \dfrac{9}{16}\vec{a}^2 + \dfrac{1}{9}\vec{b}^2 - 2 \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) \quad (\text{do } \vec{s} \perp \vec{a}, \vec{s} \perp \vec{b}) \\
& MN^2 = \dfrac{25}{144} \cdot \dfrac{5}{4} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \\
& MN^2 = \dfrac{125}{576} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{4} \\
& MN^2 = \dfrac{125 + 324 + 64 - 144}{576} = \dfrac{369}{576} = \dfrac{41}{64} \\
& \Rightarrow MN = \dfrac{\sqrt{41}}{8} \\
& \text{Thay vào công thức tính côsin:} \\
& \cos(MN, AC) = \dfrac{\dfrac{1}{24}}{\dfrac{\sqrt{41}}{8}} = \dfrac{1}{24} \cdot \dfrac{8}{\sqrt{41}} = \dfrac{1}{3\sqrt{41}} = \dfrac{\sqrt{41}}{123} \\
\end{aligned}$