Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Điều kiện để hàm số xác định trên } [-1; 2] \text{ là:} \\
& -x^2 + 2(m-1)x + 3m^2 + 2m - 1 \ge 0, \quad \forall x \in [-1; 2] \quad (*) \\
& \text{Xét tam thức bậc hai ở vế trái: } f(x) = -x^2 + 2(m-1)x + 3m^2 + 2m - 1 \\
& \text{Tính biệt thức thu gọn } \Delta': \\
& \Delta' = (m-1)^2 - (-1)(3m^2 + 2m - 1) \\
& \Delta' = m^2 - 2m + 1 + 3m^2 + 2m - 1 \\
& \Delta' = 4m^2 \ge 0, \quad \forall m \in \mathbb{R} \\
& \text{Tam thức } f(x) \text{ luôn có hai nghiệm } x_1, x_2 \text{. Theo công thức nghiệm:} \\
& x = \dfrac{-(m-1) \pm \sqrt{4m^2}}{-1} = \dfrac{1-m \pm 2|m|}{-1} = m - 1 \mp 2|m| \\
& \text{Đặt hai nghiệm theo thứ tự tăng dần:} \\
& x_1 = m - 1 - 2|m| \\
& x_2 = m - 1 + 2|m| \\
& \text{Vì hệ số } a = -1 < 0 \text{ nên } f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x_1 \le x \le x_2 \\
& \text{Để bất phương trình } (*) \text{ đúng với mọi } x \in [-1; 2] \text{ thì đoạn } [-1; 2] \text{ phải nằm trong đoạn } [x_1; x_2] \\
& [-1; 2] \subset [x_1; x_2] \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 \le -1 \\ x_2 \ge 2 \end{cases} \\
& \begin{cases} m - 1 - 2|m| \le -1 \\ m - 1 + 2|m| \ge 2 \end{cases} \\
& \begin{cases} m - 2|m| \le 0 \quad (1) \\ m + 2|m| \ge 3 \quad (2) \end{cases} \\
& \text{Giải (1): } m \le 2|m| \\
& \text{Ta có } m \le |m| \text{ và } |m| \ge 0 \Rightarrow m \le 2|m| \text{ luôn đúng với mọi } m \in \mathbb{R} \\
& \text{Giải (2): } m + 2|m| \ge 3 \\
& \text{Trường hợp 1: } m \ge 0 \Rightarrow |m| = m \\
& m + 2m \ge 3 \\
& 3m \ge 3 \\
& m \ge 1 \quad (\text{Thỏa mãn } m \ge 0) \\
& \text{Trường hợp 2: } m < 0 \Rightarrow |m| = -m \\
& m + 2(-m) \ge 3 \\
& -m \ge 3 \\
& m \le -3 \quad (\text{Thỏa mãn } m < 0) \\
& \text{Kết hợp lại, giá trị } m \text{ cần tìm là:} \\
& m \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \\
\end{aligned}$