Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) `D` ∈ `AB ⇒ CA ⊥ AD ⇒ ΔCAD` vuông tại `A`

Xét `ΔCAB` và `ΔCAD` có

`AB = AD` ( `A` là trung điểm `BD`)

`\hat{CAB} = \hat{CAD} = 90^0`

`AC`  cạnh chung

`⇒ ΔCAB = ΔCAD ( c.g.c) ⇒ \hat{ACB} = \hat{ACD}` ( 2 góc tương ứng)

`⇒ CA` là tia phân giác `\hat{BCD} (đpcm)`

b) `ΔBCD` có `AC` vừa là đường cao vừa là phân giác `⇒ ΔBCD` cân tại `C`

`⇒ \hat{CBA} = \hat{CDA}`  và `CB = CD `

`BE ⊥ CD ⇒ ΔBED` vuông tại `E,` và `BE` là đường cao `ΔBCD`

`⇒ I` là trực tâm `ΔBCD` , mà `IF ⊥ BC`

`⇒ D, I, F` thẳng hàng `⇒ DF ⊥ BC ⇒ ΔDFB` vuông tại `F`

Xét `ΔBED` và `ΔDFB` có

`BD` cạnh huyền chung

` \hat{CBA} = \hat{CDA}  (cmt)`

`⇒ ΔBED = ΔDFB` ( cạnh huyền - góc nhọn)

`⇒ BF = DE` ( 2 cạnh tương ứng)

`⇒ CF = CB - BF = CE = CD - DE ⇒ ΔCEF` cân tại `C`

Lại có `CA` là tia phân giác `\hat{BCD} (cmt)`

`⇒ CA` vừa là phân giác vừa là trung trực `ΔCEF ⇒ CA ⊥ EF`

Có `CA ⊥ BD` (gt) ; `CA ⊥ EF ⇒ EF` // `BD ( đpcm)`

c)  `CA` là đường trung trực `BD (cmt) ⇒ IB = ID`

Mà `ΔDIE` vuông tại `E ⇒ ID > IE`  ( `ID` là cạnh huyền)

`⇒ ID = IB > IE ( đpcm)`

d) `ΔBEF` cân tại `F ⇒ \hat{FBE} = \hat{FEB}` 

Mà `BD// EF (cmt) ⇒ \hat{EBD} = \hat{FBE}` ( so le trong)

`⇒ \hat{EBD} = \hat{FBE} ⇒ EB` là tia phân giác `\hat{DBC}`

`⇒ EB` vừa là đường cao vừa là phân giác `ΔBCD`

`⇒ ΔBCD` cân tại `B ⇒ BD = BC`

Mà `CB = CD (cmt) ⇒ CB =CD = BD ⇒ ΔBCD` đều

`⇒ \hat{DBC} = 60^0 `

Vậy để `ΔBEF` cân tại `F` thì `ΔABC` vuông và `\hat{B} = 60^0`