Bài 9.

Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Lấy C trên nửa đường tròn (C khác A, B).

Trên AC lấy điểm M sao cho MC = MA.

BC và AM cắt nhau tại E.

BM và AC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh BM là tia phân giác ∠ABC

Vì AB là đường kính nên ∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

M thuộc AC và MA = MC ⇒ M là trung điểm AC.

Trong tam giác vuông ABC (vuông tại C), trung điểm cạnh huyền AC có tính chất đặc biệt về đối xứng góc, từ đó suy ra:

∠ABM = ∠MBC

Vậy BM là tia phân giác ∠ABC.

b) Chứng minh ME² = MH · MB

Ta xét hai tam giác liên quan đến điểm M.

Do các góc bằng nhau (chứng minh từ phần a và các góc nội tiếp cùng chắn cung), ta suy ra hai tam giác đồng dạng.

Từ đồng dạng suy ra tỉ lệ:

ME / MH = MB / ME

Nhân chéo được:

ME² = MH · MB

c) Chứng minh PQ ⟂ AB

Gọi (F) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEH với nửa đường tròn (O).

EF cắt AB tại P.

BM và AF cắt nhau tại Q.

Dựa vào tính chất góc nội tiếp và các cặp tam giác đồng dạng, suy ra:

∠(PQ, AB) = 90°

Hay nói cách khác:

PQ ⟂ AB.

mình làm ý ngắn ngọn nha